第1章 平行线
1．2 同位角、内错角、同旁内角
知识点 同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截，构成了8个角．
(1)如果一对角在截线的同旁，并且分别位于被截直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角．如图1－2－1中的∠1和∠8.
(2)如果一对角位于截线的异侧(交错)，并且都在被截直线之间(内)，这样的一对角叫做内错角．如图1－2－1中的∠1和∠6.
(3)如果一对角都在截线的同旁，并且在被截直线之间(内)，这样的一对角叫做同旁内角．如图1－2－1中的∠1和∠5.
图1－2－1
[注意] 像上述两条直线AB和CD被第三条直线EF所截得八个角，我们称之为三线八角，这八个角分为三种．同位角、内错角、同旁内角．
图1－2－2
如图1－2－2，如果∠1＝50°，∠2＝110°，那么∠3的同位角等于________°，∠3的内错角等于________°，∠3的同旁内角等于________°.
探究 一 在较复杂的图形中识别角的位置关系
教材补充题如图1－2－3，标有角标的7个角中共有________对内错角，________对同位角，________对同旁内角．
图1－2－3
教材补充题(1)如图1－2－4，直线AB，CD被直线AC所截，所产生的内错角是____________；
图1－2－4
(2)如图1－2－4，直线AD，BC被直线DC所截，产生了________角，它们是____________．
[归纳总结] 1.识别同位角、内错角、同旁内角的方法：
角的 名称 | 位置特征 | 基本图形 | 图形结 构特征 |
同位角 | 在两条被截直线同侧，截线同旁 | 去掉多余的线显现基本图形 | 形如字母“F” |
内错角 | 在两条被截直线之间(内)，截线两侧(交错) | 去掉多余的线显现基本图形 | 形如字母“Z” |
同旁 内角 | 在两条被截直线之间(内)，截线同旁 | 去掉多余的线显现基本图形 | 形如字母“U” |
2.上述各类角的共同特点：①它们都是两条直线被第三条直线所截而成的两个角；②每对角都没有公共顶点；③每对角都各有一条边在第三条直线上，即在“截线”上．
探究 二 三线八角与对顶角、邻补角的综合应用
如图1－2－5所示，两条直线AB，CD被第三条直线EF所截，交点分别为G，H.已知∠AGE＝∠DHF.请分别说出下列各式成立的理由．
(1)∠1＝∠3；
(2)∠2＋∠3＝180°；
(3)∠3＝∠4.
图1－2－5
[归纳总结] 在求角的度数或说明角相等时，经常运用对顶角与邻补角的性质．
[反思] 在两条直线被第三条直线所截形成的三线八角中，有几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？
一、选择题
1．2016·福州如图1－2－6，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是( )
图1－2－6
A．同位角 B．内错角
C．同旁内角 D．对顶角
2．如图1－2－7，直线AB，CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是( )
A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5
图1－2－7
3．如图1－2－8所示，下列说法错误的是( )
图1－2－8
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠1与∠2是内错角
C．∠A与∠C是内错角
D．∠A与∠1是同位角
4．如图1－2－9，∠1与∠2不是同位角的是( )
图1－2－9
5.如图1－2－10，∠1和∠2是内错角，可看成是由直线( )
A．AD，BC被直线AC所截形成
B．AB，CD被直线AC所截形成
C．AB，CD被直线AD所截形成
D．AB，CD被直线BC所截形成
图1－2－10
6.如图1－2－11，有下列6种说法：(1)∠1与∠4是内错角；(2)∠1与∠2是同位角；(3)∠2与∠4是内错角；(4)∠4与∠5是同旁内角；(5)∠2与∠4是同位角；(6)∠2与∠5是内错角．其中正确的有( )
图1－2－11
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．对于任意一个三角形，有________对同旁内角．
8．如图1－2－12所示，(1)∠BED与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角；
(2)∠A与∠CED是直线________，________被直线________所截形成的________角；
(3)∠CBE与∠BEC是直线________，________被直线________所截形成的________角；
(4)∠AEB与∠CBE是直线________，________被直线________所截形成的________角．
图1－2－12
9．如图1－2－13，若一对同位角∠1＝∠4，则∠1与________也相等．
图1－2－13
10．如图1－2－14，直线l1，l2被直线l3所截，若一对同位角∠1与∠3相等，则一对内错角∠2与∠4相等吗？说明理由．
图1－2－14
解：∵∠1＋∠2＝________(平角的意义)，
∠1＝∠3，
∴∠3＋________＝180°.
又∵∠4＋________＝180°，
∴∠2七年级下册数学试卷＝∠4(______________________)．
三、解答题
11．如图1－2－15，(1)∠1与∠2，∠3与∠4分别是具有怎样位置关系的角？
(2)当∠1＝∠2时，∠3与∠4具有怎样的数量关系？
图1－2－15
12．请在图1－2－16中添加一条直线，使得有两个角，记做∠2和∠3，且都与∠1构成同位角，并且∠2和∠3是同旁内角．
图1－2－16
13．如图1－2－17所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，如果∠B＝∠ADE，求∠B＋∠BDE的大小．
图1－2－17
14．如图1－2－18所示，在标出的7个角中，与∠1是内错角、同旁内角的各有哪几个？与∠5是同位角的有哪几个？
图1－2－18
1．[拓展题] 如图1－2－19，与∠1构成同位角的角有a个，与∠1构成内错角的角有b个，则a与b之间的数量关系为________．
图1－2－19
2．[拓展题] 如图1－2－20所示，其中同旁内角有多少对？
图1－2－20
详解详析
教材的地位 和作用 | 三线八角是有关平行线内容的延续，也是以后学习“空间与图形”的起点，注意辨别它们之间的联系与区别，为以后的学习打下良好的基础 | ||
教 学 目 标 | 知识与技能 | 1.了解同位角、内错角、同旁内角的概念，并学会识别； 2.会在给定的某个条件下进行同位角、内错角、同旁内角的判定和计算 | |
过程与方法 | 经历同位角、内错角、同旁内角的识别过程，提升学生的辨别能力和想象能力 | ||
情感、态度 与价值观 | 通过识别同位角、内错角、同旁内角的意义，丰富学生学习几何的成功体验 | ||
教学重点难点 | 重点 | 同位角、内错角、同旁内角的概念 | |
难点 | 从复杂图形中识别同位角、内错角和同旁内角 | ||
易错点 | 对概念理解不清，导致不能正确判断角的位置关系 | ||
【预习效果检测】
[答案] 70 70 110
[解析] 在截线的同旁同位角和同旁内角，在截线的另一旁内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．
∵∠2＝110°，∴∠3的同位角＝∠4＝180°－∠2＝180°－110°＝70°，∠3的内错角＝∠5＝180°－∠2＝180°－110°＝70°，∠3的同旁内角＝∠6＝∠2＝110°.
【重难互动探究】
例1 [答案] 4 2 4
[解析] 如题图，共有4对内错角，分别是∠1和∠4，∠2和∠5，∠6和∠1，∠5和∠7；2对同位角，分别是∠7和∠1，∠5和∠6；4对同旁内角，分别是∠1和∠5，∠3和∠4，∠3和∠2，∠4和∠2.
例2 [答案] (1)∠BAC和∠ACD
(2)同旁内 ∠D和∠BCD
例3 解：(1)∵∠1＋∠AGE＝180°，∠3＋∠DHF＝180°，∠AGE＝∠DHF，
∴∠1＝∠3.
(2)由(1)得∠1＝∠3，
又∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＋∠3＝180°.
(3)由(1)得∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠4，∴∠3＝∠4.
【课堂总结反思】
[反思] 有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B
2．[解析] B 同旁内角要在被截的两条直线之间，即AB，CD之间，这样的角只有∠2，∠5，所以不可能是∠1和∠4.又因为同旁内角在截线的同侧，故选B.
3．[解析] C A，B，D选项都符合它们的位置特征，只有C选项是在被截直线之间，截线同侧，应是同旁内角．
4．C 5.B 6.C
7．[答案] 3
[解析] 根据同旁内角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样的一对角叫做同旁内角．如图所示，∠A与∠B，∠B与∠C，∠C与∠A都是同旁内角．
8．[答案] (1)DE BC BE 内错
(2)AD DE AC 同位
(3)BC EC BE 同旁内
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