传染病传播模型
摘要
本文讨论了SARS疫情的传播规律和对经济方面的影响。
首先本文对题中的早期模型进行了评价，认为其最大的优点是：能较好的描述疫情早期的发展情况，并在理论上可大致预测出疫情的爆发点以便卫生部门及早控制；最大的不足是：原模型在求解过程中参数Ｋ经过多次手工调整，而且L取为一个定值，此做法主观性太强，缺乏普适性。
针对上述模型的不足，本文在原模型基础上进行了改进，在非典传播的全过程中将K表示成一个函数（用Logistic函数表示），根据北京4月20日以后25个以上的数据对K进行拟合（用30个数据拟合效果较好），确定K的函数关系式，从而得到对整个过程累计病例数和日增病例变化的拟合曲线，发现它与实际情况符合得较好，而且可以再现非典传播的全过程。同时，还对K的取值进行了分析。经计算知，在相同的控制力度下，卫生部门如果提前5天采取措施，累计病例将控制在2000人以下；如果再延后5天，累计病历将至少达到3000多人，甚至可能超过40
00人。最后，分析了建立一个真正能预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型的最大困难是：因为缺乏前期数据，而不能在比较早的时候得到预测结果。
本文还通过对北京市1997～2002年各月接待的海外旅游人数的分析并建立了时间序列模型，“预测”出2003年疫情期间本应接待的人数，对比实际接待人数，计算出在非典期间少接待的游客人数约为115万人，经济损失约1.2亿美元，约占正常情况下全年收入的33%.
最后我们给当地报刊写了一篇短文，说明了建立传染病数学模型的重要性。
SARS传播模型
一.问题重述
SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量的研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。所以本文首先评价了一个已有的早期模型的合理性和实用性，然后在此基础上建立了一个更优的模型并给出了分析，最后建立了SARS对经济某个方面影响的模型。
二.问题分析
（一）通过对早期模型和实际情况的分析，我们认为影响SARS传播因素众多，大致可分为时域因素和地域因素。列举如下：
(1)时域因素
a．媒体宣传：初期疫情较轻，媒体宣传强度很弱，导致民众的自我保护意识不足，容易感染；后期疫情较重，媒体宣传强度很大，民众的自我保护意识大大加强。
b．政府干预：初期疫情较轻，政府介入不足，后期疫情较重，政府加强干预（如：强行隔离，公共场所消毒等行为）。
c．认识程度：当一种新的传染病出现时，初期由于人们的认识程度不足，无法采取有效的预防和措施，但随着研究的深入，认识程度会越来越高。
(2)地域因素
a．经济水平和医学水平：经济水平和医学水平高的地区的疫情控制情况会明显比水平低的
地方好。
b．人口密度和人口流动：人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，疫情程度会比人口密度和人口流动小的城市大。
c．气候：SARS适合在春秋两季传播，且各城市的气候会疫情程度。
（二）我们认为在SARS疫情期间考察的人大致可分为三类：健康人，感染人，治愈人。而感染人又可分为非传染源和传染源两类。
（三）一个较好的传染病传播模型因该具有如下功能：
a．能较好的描述疫情的大致走势。
b．能较精确的给出关键时间（初期爆发时刻；中期稳定时刻；高峰期；0病例增长的时刻），以便政府和卫生部门针对不同作出及时而正确的措施。
c．能给出描述疫情的指标，以便政府和卫生部门决定其各项工作的力度。
三．基本假设
1．题中所给的数据真实可信。
2．假定疫情爆发后政府一定会采取措施。
3．假定北京市医院及医务人员足够多。
四．变量说明
N(t) 累计病例数
K 平均每病人每天可传染人数
L 平均每个病人可以直接感染他人的天数
五．早期模型评价
（一）早期模型重述
假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人，平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，累计病例数N(t)随时间t（单位天）的关系是：
（1-1）
如果不考虑传染期的限制，病例数将按指数规律增长，考虑传染期的限制后，则采用半模拟循环计算的办法，把达到L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。然后假定从开始至高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据得出），到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据（认为社会在短期剧烈调整后，进入对疫情控制较好的常态）。
（二）早期模型的合理性和实用性的评价
A．早期模型的优点
1．模型（1-1）实际上是微分方程在（0～L）区间内的特解[1]。其中N(t)表示t时刻的累计病例数，则(N(t)-N(t-L))表示传染源数量，为病例总数减去失去传染能力的病例数。
2．参数K和L是描述SARS传播的两个重要参数，并且具有实际的意义：L可理解为平均每个
病人在被发现前后可以造成造成直接传染的期限，在此期限后失去传染作用，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。K表示某种社会条件下平均每病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。
3．通过对模型的分析，可得到一预测疫情发展的参数R＝K×L，R表示平均每个病人在其传染期内感染的总人数。若R＞1，说明社会上现存传染源人数在上升，疫情将因失控而爆发；若R＜1，说明社会上现存传染源人数在下降，疫情将得到控制；若R＝1，说明社会上现存传染源人数不变，疫情将持续下去[2]。
4．从拟合的图形来看，此模型对各城市早期的SARS疫情描述的较好，具有一定的通用性。其实际意义就是此模型可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。因为通过对早期数据的拟合确定参数，得出形如（1-1）的一个指数形式的模型，而指数函数的曲线初期增长较慢，后期增长急速，必可大致到一个“转折点”，而“转折点”所对应的时间便是预测的疫情爆发点。这一数据对于卫生部门十分重要，因为控制疫情的最好时间是在疫情爆发之前。
B．早期模型的不足之处
1．首先模型并未给出拟合程度的参数，而当我们试图通过计算得到该模型的拟合程度参数时发现无法进行。原因是原模型求解过程的中间阶段参数K多次手工调整，而且模型中并未给出调整的标准和相关理论，所以我们很难重复该求解过程。由此我们得出结论：该模型的参数取值主观性太强，此作法给阅读者运用并改进模型带来了极大的困难，所以此模型的普适性较差。
2．在数据不足的情况下因无法进行手工调整，所以该模型用香港后期拟合的K值去预测北京后期疫情的发展趋势。但如问题分析所述，地域因素会造成不同地区的K值不同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的K值会比人口密度和人口流动小的城市大，等等），而很难到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法可能导致预测结果相差较大。图1为用此方法预测的北京后期疫情情况与实际情况的对比图
图1
从图中可以看出，预测值与真实值偏差越来越大。
对该模型的评价：
该模型具有较好的实际意义，能比较合理的反映非典的传播情况和发展趋势，模型中的参数设置也较科学，能较好地反映非典传播的影响因素；但模型的求解过程主观性太强，很难重现，而且参数的取值也很主观，没有取值的标准和理论。综上所述，我们得到结论：该模型较合理，但不实用。疫情开始的时间
六．SARS传播模型的建立
1．模型的建立与参数讨论：
假设N(t)为随时间变化的累积SARS病人总数；K(t)为某一天平均每病人传染他人的人数（/天），是时间的函数；L为平均每个病人可传染他人的传染期限（天）；则为单位时间（天）内增加的发病的人数，表示第t天时具有传染能力的人数，K(t)×(N(t)-N(t-L))就表示t天时增加的被感染的人数。由上分析得到N(t)的微分方程如下：
（1）
同时，随着时间的变化，由于外界因素的改变，人均日传染数K(t)也会变化：在疫情初发期，由于人们对SARS并没有什么认识，更不知道其严重性，所以即使有患病者，该患病者的活动范围也比较大，可能传染的人数也比较多，故人均日传染数K(t)就比较大并且在一定时间内保持基本稳定；当患者越来越多，疫情越来越严重时，SARS就会受到社会的普遍关注，政府部门也会立即采取强制控制手段来限制疫情的发展，民众自我防范意识在媒体宣传等作用下加强，患病和疑似患病者活动范围受到严格控制，从而人均日传染数K(t)开始快速下降；当人均日传染数K(t)下降到一个较小值之后，由于传染的可能性仍存在，政府部门的控制能力也有一定限度，K(t)的下降速度明显变缓；最后随着累积病例数的稳定，K(t)缓慢降至0。
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