6-1-2.还原问题（二）
教学目标
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题．
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3. 培养学生“倒推”的思想．
知识点拨
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
例题精讲
模块一、单个变量的还原问题
【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的．此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
1【解析】 最开始瓶子里有矿泉水：（升）．
【答案】升
【例 2】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（ ）斗酒。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级
【解析】 设李白壶中原有斗酒，则三次经过店和花之后变为
即壶中原有斗酒.
即壶中原有斗酒.
【答案】斗
【例 3】 有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放开手，可以分成18个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_ _个小组．
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3题
【解析】 方法一：男生和女生放手分成个组，说明有男生被计算次，男生与男生放开手后分成的组数和男生数相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算成了两次，所以按照逆推的原则，原来有男生人，被计算（次），所以（次）分成了组。
方法二：名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有对牵着的手，其中男生与女生牵手的有对，假设男生与男生牵手的有人，那么，参与围圈的男生一共有人，所以，．那么原来牵手的男生和男生放手，分成了个小组．
【答案】个小组
模块二、多个变量的还原问题
【例 4】 甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。这时四个组的书一样多。这说明甲组原来有书______ 本。
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】 甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四个人书一样多，为280÷4=70，所以甲原来有70-4=66本书
【答案】本书
【例 5】 一小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋．如果甲组先给乙组5只，乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
1【解析】 甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为140只，所以这时两组各有沙袋70只．解答时可以从开始倒推．列表倒推如下：
解决此类问题的关键是到从哪里开始倒推．因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所以应从两组各有沙袋70只开始倒推．
【答案】甲，乙
【巩固】 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
2【解析】 如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树（棵），乙班有（棵），如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树（棵），甲班原有树（棵）．列表倒推如下:
【答案】甲班原有树棵，乙班原有树棵
【例 6】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
3【解析】 我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有(个)棋子，而甲堆的棋子数是两拨(个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子．
采用列表法非常清楚．
【答案】甲乙两堆棋子原来各有个和个
【巩固】 有一个两层书架，一共摆放224本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下层现有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调整．若如此共进行了两轮调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架原来摆放________本书,下层书架原来摆放________本书．
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第8题，可逆思想方法
【解析】 还原法
结果：上层 112 本；下层 112 本
上层 本；下层 本
上层 140 本；下层 84 本
上层 70 本；下层 154 本
上层 147 本；下层 77 本
【答案】上层本，下层本
【例 7】 三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
1【解析】 甲：（元）； 乙：（元）；丙：．
【答案】甲元， 乙元，丙元
【巩固】 小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，他们的玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
1【解析】 由已知条件可知，小巧比原来多了个，小亚比原来多了个，小红少了个，三人一样多时，都是（个），所以小巧原来有（个），小亚原来有（个），小红原来有（个）．
【答案】所以小巧原来有个，小亚原来有个，小红原来有个．
【例 8】 三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树
上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
1【解析】 这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是（只），第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：现在一样多的：（只），第一棵树上的小鸟只数：（只）或 （只），第二棵树上的小鸟只数：（只）或（只），第三棵树上的小鸟只数：（只）或（只）原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟．
【答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟
【巩固】 三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
2【解析】 三棵树上的鸟同样多的只数：（只），第一棵数上鸟的只数：（只），第二棵数上鸟的只数：（只），第三棵数上鸟的只数：（只），第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟．
【答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟
【巩固】 3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
4【解析】 3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出现在每个笼里的是（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第个笼子里有：（只），第3个笼子里原有（只）．
【答案】第1个笼子里原来养了只，第个笼子里有只，第3个笼子里原有只。
【巩固】 3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多．求3个笼子里原来各养了多少只兔子？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
5【解析】 3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出现在每个笼里的兔子是（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，所以第3个笼子里原有：（只），第个笼子里原有：(只)．
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