月上柳梢头问题
摘要
本文围绕北宋词人欧阳修《生查子·元夕》中“月上柳梢头，人约黄昏后”月亮在空中的角度及黄昏后时间的定义展开论述，结合词人创作该词的写作时间、地点及背景进行分析，在较合理的假设下，参照天文历的资料，建立模型并进行求解及验证，得到了较理想的结果。
针对问题一：为定义出“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和“黄昏后”的时间，本问分三步对该问题进行模型的建立。第一，通过搜集资料，确定“月上柳梢头，人约黄昏后”的时间为公元1035年2月25日，地点为开封；第二，根据天文学的基本知识，绘制出“月上柳梢头，人约黄昏后”的示意图，运用相似三角形的公式，定义出“月上柳梢头”时月亮在空中的角度为；第三，搜集资料查出古代对黄昏的记载及定义，求算出月亮转到指定位置的时间为50分钟，结合天文历，得出词中“月上柳梢头，人约黄昏后”的日落时间为18:20:29，定义出“人约黄昏后”的时间为；根据天文资料，将同一时刻开封与北京的月出月没时间进行比较，得到同一时刻开封与北京月出月落时间相差15分钟，验证了所建模型的合理性。
针对问题二：在问题一的基础上，根据问题一建立的模型，结合相关天文资料，可知2016年北京地区发生“月上柳梢头，人约黄昏后”的时期为元宵节，通过查北京的经纬度，参照天文历的信息，查出当地日出日落时间、月出月落时间，将上述天文参数代入问题一所建立的模型中，确定出2016年北京地区“月上柳梢头”的日期与时间为2016年2月22日20:53:10，“人约黄昏后”的日期与时间为2016年2月22人约黄昏后的前一句日22:04:06；用模型判断出哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐能发生“月上柳梢头，人约黄昏后”的情景；通过查阅上述六个城市的经纬度，结合天文历的资料，查出六个城市的日出日落时间、月出月落时间，运用模型求解出2016年上述六个城市发生“月上柳梢头，人约黄昏后”的日期都是2月22日；六个城市发生“月上柳梢头”的时间分别为：20:09:33、21:08:24、21:29:02、21:56:43、21:48:54、22:35:12；六个城市发生“人约黄昏后”的时间分别为：21:22:42、22:18:47、22:39:01、23:05:12、22:57:38、22:50:27。
关键词：月上柳梢头；天文历；相似三角形；经纬度
一、问题重述
1.1背景分析
“月上柳梢头，人约黄昏后”一句出自北宋著名词人欧阳修的《生查子.元夕》，词人通过将月亮、柳梢、佳人、黄昏结合起来，描绘了一幅与佳人相约在月上柳梢、黄昏后的唯美画卷，词句言尽而意无穷，给人以无限的想象空间，成为了流传至今的千古绝唱。词句中所描绘情景是元宵节的盛况，在天文学中，确定“月上柳梢头”和“人约黄昏后”发生的日期与时间具有特殊意义，成为探讨求证的热点。
1.2问题的提出
“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约的情景。请用天文学的观点赏析该名句，解决以下两个问题：
问题一：（1）定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和什么时间称为“黄昏后”。（2）根据天文学的基本知识，在适当简化的基础上，建立数学模型，分别确定“月上柳梢头”和“人约黄昏后”发生的日期与时间。（3）根据已有的天文资料（如太阳和月亮在天空中的位置、日出日没时刻、月出月没时刻）验证所建模型的合理性。
问题二：根据所建立的模型，分析2016年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与
时间。根据模型判断2016年在哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐是否能发生这一情景？如果能，请给出相应的日期与时间；如果不能，请给出原因。
二、问题分析
本文提供了北宋学者欧阳修的一句词句：“月上柳梢头，人约黄昏后”，该问题的关键是分析词句中的含义，了解词句的写作背景及查出隐藏的信息，得到“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和时间以及分别确定“月上柳梢头”和“人约黄昏后”发生的日期与时间的关系式，建立相应的数学模型及求解。
问题一的分析：对于问题一，我们分三步对该问题进行模型建立。首先，要达到定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和时间称为“黄昏后”的目的，要了解欧阳修写此诗的地点、时间及写作背景，查相应的天文学信息；第二，在定义月亮在空中角度的过程中，运用相似三角行的思想，建立模型，求解月亮在空中的角度，搜集资料查古代对黄昏的记载及定义，求算月亮转到指定位置的时间，结合天文历中的日落时间，定义黄昏后的时间；第三，根据现有的天文资料（日出日落时间和月出月出月落时间等）对模型进行检验，由此来验证模型的合理性。
问题二的分析：在问题一的基础上，根据问题一建立的模型，分析欧阳修写词的背景，假定2016年北京地区发生“月上柳梢头，人约黄昏后”的时期为元宵节，查北京地区经度纬度，参照寿星天文历的信息，查有关日落时间、月出时间和月落时间的信息，确定2016年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间；同理，用模型求解出2016年哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。
三、模型假设
1.假设词人看满月时柳树的高度和身高以及词人和柳树的距离都是一个定量；
2.假设月球和地球之间的运行轨迹不受其它星球的运动影响，排除日全食之类的天文现象出现；
3.不考虑中国各地时差的影响，且不会对本文造成干扰。
四、符号说明
符号 | 符号说明 | 符号 | 符号说明 |
人的身高 | 黄昏后的时间 | ||
树的高度 | 日落时间 | ||
人的影子长度 | 月出时间 | ||
人与树的距离 | 月落时间 | ||
地球的自转周期 | 月落与月出时间和 | ||
月亮每小时转的度数 | 月亮转动到空中角度的用时 | ||
月亮每分钟转的度数 | “月上柳梢头”的时间 | ||
月亮转动单位小时内的度数 | “人约黄昏后”的时间 | ||
月亮转动单位分钟内的度数 | 月亮转到指定位置的时间 | ||
月亮与水平线的夹角 | 两地的经度差 | ||
五、模型的建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
5.1.1时间地点的确定
根据问题一的分析，我们分三步对问题一进行模型建立，首先先定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和什么时间称为“黄昏后”。
根据本文的问题，结合资料可知 “月上柳梢头，人约黄昏后”出自《生查子·元夕》，这首诗是由北宋学者欧阳修于公元1036年创作，主要写的是去年元宵夜之时，花市上灯光明亮如同白昼，与佳人相约在月上柳梢头之时、黄昏之后。
在对诗句的理解中可得知，“月上柳梢头，人约黄昏后”说到“元夜”那就是十五月圆，满月之时，由此我们知道的时间就是公元1035年的农历正月十五日元宵节，阴历在天文学中主要指按月亮的月相周期来安排的历法,月亮的月相周期时间图见图一。
图1 月亮的月相周期时间图
月球绕行地球一周，以太阳为参照物，实际月球运行超过一周为一个月，即把朔望月作为确定历月的基础的一种历法。农业气象学中，阴历俗称农历、殷历、古历、旧历，就是指中国传统上使用的夏历，而农历正月十五为2月25日所以可以确定“月上柳梢头，人约黄昏后”的时间就是公元1035年2月25日。
综上所述，当时词人所作“月上柳梢头，人约黄昏后”的地点就是北宋帝都(今河南省开封市)，所在地理经纬度为(,)。
5.1.2定义月亮在空中角度
根据天文学的基本知识，月亮在天球上运行到太阳的正对面，日、月相距180°，即地球位于太阳和月亮之间，从地球上看去，月亮的整个光亮面对着地球，这时的月相叫“望月”或“满月”。根据题意可知，已知题中月相为望月，则我们假设月亮与水平线的夹角为,人的高度为,树的高度,人影为,柳树与人的距离为，则“月上柳梢头，人约黄昏后”的情况如图2所示：
图2“月上柳梢头，人约黄昏后”示意图
由图2知道，出现“月上柳梢头”时月亮与水平线的夹角和以人眼为水平线向上仰视月亮的夹角是相同的角度，由人的高度与柳树的高度，从图中清晰的看出是相似三角形，再根据相似三角形的相关公式：，从而形成下列相似三角形的等式：
在北宋时期古代人的身高以1尺为31.2（cm）计算，当时词人欧阳修在公元1035年时为28岁，此时的身高为6尺，以现在的身高单位换算，则可以得到欧阳修的具体身高为：
在月亮不断的自转中，望月时期人影在慢慢的拉长，为了便于计算，我们定人影的长度为，则可以得到：
在北宋时期了解到了柳树的平均高度为：,为了更具有科学合理性，选取柳树平均高度的中间值：
现在已知，，，将他们代入下列式子中，则：
故此，定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度为。
5.1.3定义“黄昏后”的时间
在天文学中，对古代黄昏时间是这样记载的: 黄昏，又名日夕、日暮、日晚等：此时太阳已经落山，天将黑未黑。天地昏黄，万物朦胧，故称黄昏。（北京时间19时至21时）。黄昏后的定义就是天黑后，天文学上关于天黑有明确定义，即太阳低于地平线下12.5度为天黑，因此天黑后的时间就是黄昏后的起始时间。
根据所掌握的天文和地理知识，可以得到地球自转的周期为一昼夜，则可以得到:
设黄昏后的时间，当地的日落时间，当地的月出时间，当地的月落时间分别为、、、黄昏后的时间：
根据天文历可以得到词中“月上柳梢头，人约黄昏后”当天的日落时间，具体时间见表1：
表1 开封日出日落时间
地点 | 日期 | 日出时间 | 日落时间 |
开封 | 1035-2-25 | 06:52:14 | 18:20:29 |
由上表可知日落时间为
因此，定义“人约黄昏后的时间为。
综上所述，“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和时间（称为“黄昏后”）的定义是和。
5.2确定发生日期和时间
5.2.1确定“月上柳梢头”日期和时间
根据天文学基础知识，结合“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和 “黄昏后”的时间的定义，得出：
和
根据天文历得到诗人所在地区，得出河南省开封市的日出日落时间和月出月落时间，具体数值见表2:
表2 开封月出月落时间
地点 | 日期 | 月出时间 | 月落时间 |
开封 | 1035-2-25 | 18:33:10 | 07:13:12 |
设当地的月出时间与月落时间和为，当地月亮转动到空中角度的用时为,当地“月上柳梢头”时间为,当地月亮转动单位小时内的度数为, 当地月亮转动单位分钟内的度数为。
则建立以下模型:
由上文可知,，，代入到上述模型，可以得到如下数据：
=
=
=
=
综上所述，可得知“月上柳梢头，人约黄昏后”说到“元夜”那就是十五月圆，满月之时，由此我们知道的时间就是公元1035年的农历正月十五日元宵节，而农历正月十五为2月25日，所以“月上柳梢头”确定为1035年2月25日，又得到，最后确定“月上柳梢头”日期和时间为公元1035年2月25日21：57：50。
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