镶嵌知识
镶嵌知识
正三角形、正方形和正六边形是仅有的三种自镶嵌正多边形．为什么正三角形、正方形、正六边形能够覆盖一个平面？因为过每一个正三角形顶点可安排六个正三角形，每个内角60°，共为360°．过每一个正方形公共顶点的正方形有四个，每个正方形的每个内角为90°，4个90°正好是360°．同样，过每个正六边形顶点有三个正六边形，每个内角为120°，三个内角正好为360°，由此可知，要使正多边形能覆盖平面，必须要求这个正多边形的内角度数能整除360°．
如果这种镶嵌不限于用同一种正多边形，只要求同一种正多边形是有同样尺寸的．那么怎样寻求其它种类的镶嵌方案呢？
一、如果能实现平面的镶嵌，镶嵌图的每个顶点都必须是集中了几个正多边形的顶角．于是在每一顶点集中的顶角刚好拼成一个圆周角．因为每一个正n边形的内角为倍的直角，即，因此，要到这样的拼图，须到正整数n, p，q，r，……，使
这是个奇怪的方程式．其奇怪之处在于未知数的个数未确定，但限制未知数必须是不小于3的整数．这个方程不只有一组解，但是能有多少组解呢？
让我们先作一点分析．假定有m个大于3的整数满足方程，记为(n1，n2，n3...nm)，即
于是有
即
由于n1，n2，…nm每个都不小于3，于是由，知道必有，故m≤6 ．
又由于一个顶点处至少要有三个角拼在一起才行，否则必有超过或等于180°的角，所以m≥3．至此，我们的解答中，每一组解中未知数个数只能是3，4，5，6之中．现在看看怎样求解．
令n=3，则
令p=3，则
令q=3，则
令r=3，则
令s=3，则
令t＝3，则
这就是说，我们到了6个数，n=3, p=3, q=3, r=3, t=3，这组解记为（3，3，3，3，3）．请看图中的第二个图，这就是这组解相应的镶嵌图．
注意上面令s=3时，注定了t必须得3．因此上面求解中进行到r=3之后，有方程
（1）令s=4，试试则有
于是t=3,4,5,…，都会使这样的方程的右端成为负数，这是不可能的，故在n=3, p=3, q=3，r=3之后，s=4是不可能的．
（2）令s=5，试试，这时
这时，若t=3，则
u取任何大于3的正整数皆使以后这样的方程右端为负数，故令s=5试验是失败的．这又说明s=5是不可能的．
（3）令s=6，这时正好有．对s>6不用试了，因为这将使以后这样的方程右端为负数．至此得另一组解（3，3，3，3，6）．
二、上面的求解方程虽然显的笨拙，但这是有用的．把各种可能发生的情况都逐一考虑，只要问题本身是有有限种解答，那么都举出来研究，这叫“穷举法”．
继续上面的推理，已经考虑了解答中出现六个3的情况，及出现四个3与一个6的情形．下面考虑三个3的情形，经过推导，容易得出解答（3，3，3，4，4），含三个3的只有这一种可能．
接着考虑含有两个3的解答，可得（3，3，6，6），（3，3，4，12）．
若考虑含有一个3的解答，得（3，7，42），（3，8，24），（3，9，18），（3，10，15），（3，12，12）
下面列出17组解答：
（3，7，42）
（3，8，24）
（3，9，18）
（3，10，15）
（3，12，12）
（4，5，20）
（4，6，12）
（4，8，8）
（5，5，10）
（6，6，6）
（3，3，4，12）
（3，3，6，6）
（3，4，4，6）
（4，4，4，4）
（3，3，3，4，4）
（3，3，3，3，6）
（3，3，3，3，3，3）
有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的．实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地给制出了这些图样，真是令人叹为观止．
三、上面讨论的是“如果能实现平面镶嵌，则只能有17组情形”．但必须注意，这并不等于说该17组情形都能实现平面镶嵌．那么，我们应进一步回答，这17组情形中，哪些能实现平面镶嵌呢？
平面镶嵌的具体实现，可能是采用17组情形中的某一种情形，例如，图1所示，它们分别只用正方形、只用正三角形及只用正六边形来完成平面镶嵌．
还可以是多种情形出现在一类镶嵌方案之中，例如：
四、从图2所示的平面镶嵌，可以看出这类图案大体上看上去是水平式的，即可以用水平直线把平面分开．事实上，可以镶嵌出不可以用水平直线分割开来的图案，例如：
让我们的思考联想一下．室内的墙纸或地板的实际操作时，常常考虑利用不同的颜块，这样做可以使图案看上去更美妙．下面图4所示的就是涂上颜后的情形．注意，哪怕是完全相同的镶嵌方式，由于涂的方法不同，看上去却近乎完全两样！
现在，我们来看看不规则的凸多边形能不能覆盖平面．事实上，多于六边的凸多边形不可能镶嵌一个平面．任何不规则的三角形和四边形都可以覆盖一个平面．
那么，其它怎样的凸多边形才能覆盖平面呢？1918年，法兰克福大学的一位研究生卡尔·莱
因哈特曾研究过这个问题．后来发表了论文，确定五种可以拼成平面的凸多边形．例如，他提出如果五边形ABCDE的各边分别为a、b、c、d、e，且c、e两边所对的角C、E满足C+E＝180°，又a=c，那么这个五边形就能覆盖平面．
1975年，美国人马丁·加德纳在《科学美国人》这本杂志上开辟了关于镶嵌图案的数学游戏专栏，许多数学家和业余数学爱好者都参加了讨论．其中有一位名叫玛乔里·赖斯的家庭妇女是最热情的参与者之一．赖斯是五个孩子的妈妈，1939年中学毕业前只学过一点简单的数学，没有受过正规的数学专业教育．她除了研究正多边形的拼镶问题以外，还研究了一般五边形．她独立地发现了一种五边形，并且向加德纳报告了这一发现：“我认为两条边长为黄金分割的一种封闭五边形可以构成令人满意的布局．”加德纳充分肯定了赖斯的研究成果，并把她介绍给一位对数学与艺术的和谐具有职业兴趣的数学家多里斯·沙特斯奈德．在沙特斯奈德的鼓励下，赖斯又发现了解决拼镶问题的另外几种五边形，而使这样的五边形达13种．
对于5边和6边的凸多边形，只有特定的凸5边形或凸6边形可作镶嵌．对一般的凸5边形或凸6边形则要具体分析．以上是一些例子．
对于非凸多边形：
徽章怎么镶嵌对于非凸多边形的考虑甚至更加有趣．大量的研究都集中在用全等的非凸多边形的镶嵌上，诸如用五米诺或多阶米诺，(① 原注：多阶米诺是由许多全等的正方形构成．例如一个五阶米诺是由五个全等的正方形用不同的形式连结在一起而组成的． )或者多阶三角，(②原注：多阶三角是由全等的等边三角形组成． )或者多阶六角．(③原注：多阶六角是由全等的正六角形组成． )但对于它们，许多问题尚留待解决．不过有一件东西是肯定的，那就是美丽的数学镶嵌将会被不断地创造出来！

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