华南师大附中2023届高三月考（二）
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分
钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，
并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区
域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}=0A x R x ∈≤，{}=11B x R x −∈≤≤，则()()R
R A B =（ ）
A ．(,0)−∞
B ．[1,0]−
C ．[0,1]
D ．(1,)+∞
2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，
OB ，则
1
2
z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．函数()sin tan f x x x =⋅的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．赤岗塔是广州市级文物保护单位，是广州市明代建筑中较具特的
古塔之一，与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔，如图，在A 点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D
处，塔顶C 的仰角为30°，在A 的正东方向且距D 点61m 的B 点测得塔底位于北偏西45°方向上（A ，B ，D 在同一水平面），则塔的高度CD 约为（ ）
2.45≈）
A ．40m
B ．45m
C ．50m
D ．55m
5．在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，当2ABD ADC S S =△△，AB xAD y AC =+，则（ ） A ．3x =，2y =− B ．32x =
，12
y =− C ．2x =−，3y =
D ．1
2
x =−，32
y =
6．在ABC ∆中，2cos cos cos c bc A ac B ab C =++，则此三角形必是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
7．设实数,a b 满足0b >，且2a b +=，则
1
8a a b
+的最小值是（ ） A ．98
B ．
916 C ．
716
D ．14
8．已知函数()2ln f x x x x =−的图象上有且仅有两个不同的点关于直线1y =的对称点在
10kx y +−=的图象上，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(),1−∞
B ．[)0+∞，
C ．[)0,1
D ．(),1−∞−
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．设,m n 为不同的直线，αβ，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若//m α,//n α，则//m n B ．若,,m n αα⊥⊥则//m n C ．若//
m α,m β⊂，则//αβ D ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥则αβ⊥ 10．函数()()sin f x x ωϕ=+(0,2
0,A π
ωϕ><>）的部分图象如图所示，下列结论中正确的
是（ ）
A ．直线6
x π
=−
是函数()f x 图象的一条对称轴
广州2a大学B ．函数()f x 的图象关于点(),062k k Z ππ⎛⎫
−+∈ ⎪⎝⎭
对称 C ．函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
−
++∈⎢⎥⎣⎦
D ．将函数()f x 的图象向由右平移
12π
个单位得到函数()sin 26g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象
11． 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：
记图乙中第n 行白圈的个数为n a ，黑圈的个数为n b ，则下列结论中正确的是（ ） A ．1239a a a +=+
B ．12n n n a b b +=+
C ．当1k =±时，{}n n a kb +均为等比数列
D ．1236179b b b b +++
+=
12．曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线()y f x =在点(,())x f x 处的曲率
()
()() 1.52''()1f x K x f x '=
⎡⎤+⎣⎦
，其中()''f x 是()f x '的导函数．下面说法正确的是（ ）
A ．若函数3()f x x =，则曲线()y f x =在点3(,)a a −−与点3(,)a a 处的弯曲程度相同
B ．若()f x 是二次函数，则曲线()y f x =的曲率在顶点处取得最小值
C ．若函数()sin f x x =，则函数()K x 的值域为[0,1]
D ．若函数1()(0)f x x x =
>，则曲线()y f
x =第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量,a b 夹角为
4
π
，且||1a =，||2b =，则2a b +=______． 14．已知1
sin 83
πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2cos2αα+=__________．
15．某学生在研究函数()3
f x x x =−时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是
先增后减再增．该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③
()'00h =．写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________．
16．已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足
148b b ⋅=，236b b +=，设2
2
n n n n n a b a b c −+=+
，在数列{}n c 中，若4()n c c n N *
≤∈，则实数t 的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos tan 2sin sin B A
B A
+=−A ．
(1)求C ；
(2)若
6a =，ABC S ∆
=c 的值．
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，122n n a S +=+． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若2
3
n n a b n =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
19．（本小题满分12分）
某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．
(1)记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（直接写结论）；
(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A 组的客户的概率；
(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 20． （本小题满分12分）
在斜三棱柱111ABC A B C −中，1AA BC ⊥，11AB AC AA AC ====，1B C = (1)证明：1A 在底面ABC 上的射影是线段BC 中点； (2)求平面11A B C 与平面111A B C 夹角的余弦值．
已知()2,0A ，()0,1B 是椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的两个顶点．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过点()2,1P 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，与直线AB 交于点M ，求PM PM
PC PD
+的值．
22．（本小题满分12分）
设函数1
()e ,()ln x f x m g x x n −==+，m n 、为实数，()
()g x F x x
=
有最大值为21e ．
(1)求n 的值； (2)若2
()
()e f x xg x >，求实数m 的最小整数值．
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