《大学物理》练习题及详细解答
-—真空中的静电场 1. 1. 电荷为电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以，所以
2
00200)
1(π4)1(π42-=+x qq x qq e e 故 223+=x
2. 2. 电量都是电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)(1)(1)在这三角形的中心放在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡((即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零为零)?(2))?(2))?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系这种平衡与三角形的边长有无关系这种平衡与三角形的边长有无关系? ?
解：解：(1) (1) (1) 以以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q ¢为负电荷，所以为负电荷，所以
2
22
0)3
3(
π4130cos π412a q q a q ¢
=°e e
故 q
q
3
3-=¢ (2)(2)与三角形边长无关。与三角形边长无关。与三角形边长无关。
3. 3. 如图所示，半径为如图所示，半径为R 、电荷线密度为1l 的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2l 的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq
1l =，dq 在带电圆环轴
线上x 处产生的场强大小为处产生的场强大小为
)(4220
R x dq
dE +=p e
根据电荷分布的对称性知，0
==z y E E
2
32
2
0)(41
cos
R x xdq
dE dE
x
+==
p e q
式中：q 为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。轴负向的夹角。
ò
+= 23220
)(4dq R x x E x p e 232210)(24R x R x +×=p l p e 2
3
2201)(2R x x R
+=e l 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2l =，dq 受到的电场力大小为受到的电场力大小为
dq E dF x =dx R x x R 2322021)(2+=e l l 方向沿x 轴正方向。轴正方向。 直线段受到的电场力大小为直线段受到的电场力大小为
ò=dF
F dx
R x
x
R
l
ò+=0
2
32
2
2
1)
(e l
l
2
R O
l 1
l 2 l
x
y
z
(
)úû
ùêë
é+-
=
2
/12
20
211
1
R l R
R e l l 2
方向沿x 轴正方向。轴正方向。
4. 4. 一个半径为一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为l 。求：。求： （1）圆心处O 点的场强；点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。点场强。 解：（1）在半圆环上取j l l Rd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为点产生场强大小为
20π4R dq
dE e =j e l
d R 0π4= ，方向沿半径向外，方向沿半径向外 根据电荷分布的对称性知，0
=y E
j j e l j d R
dE
dE
x sin π4sin 0==
R
d R E x 000π2sin π4
e l j j e l
p ==ò
故 R
E E x 0π2e l
==，方向沿x 轴正向。轴正向。
（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。 5．如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度。
点的电场强度。
解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dx L
q dx dq =
=l ，dq 在P 点产生的场强大小为点产生的场强大小为
2
02044x dx x dq dE p e l p e ==
，方向沿x 轴负方向。轴负方向。
故 P 点场强大小为点场强大小为 ò
ò+=
=L
d d
P x
dx
dE E 2
04pe l ()
L d d q
+p =04e
方向沿x 轴负方向。轴负方向。
6. 6. 一半径为一半径为R 的均匀带电半球面，其电荷面密度为s ，求球心处电场强度的大小。，求球心处电场强度的大小。
解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。 在半球面上取宽度为dl 的细圆环，其带电量rdl dS dq p s s 2×=×=q q p s d R sin 22
×=， dq 在O 点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）点产生场强大小为（参
见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
2
3220)
(4r x xdq dE +=
p e ，方向沿x 轴负方向轴负方向 利用几何关系，q c o s R x =，q sin R r =统一积分变量，得变量，得
L
d
q P
x
O
O
R
x dl
q
r
23
2
2
0)(4r x xdq
dE +=
p e
q q p s q p e d R R R sin 2cos 412
3
0×= q q q e s
d cos sin 20
= 因为所有的细圆环在在O 点产生的场强方向均沿为x 轴负方向，所以球心处电场强度的大小为轴负方向，所以球心处电场强度的大小为
ò=dE E q q q e s p d cos sin 22
/00ò=0
4e s
=
方向沿x 轴负方向。轴负方向。
7. 7. 一“无限大”平面，中部有一半径为一“无限大”平面，中部有一半径为R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为s ，如图所示。试求通过小孔中心O 并与平面垂直的直线上各点的场强。并与平面垂直的直线上各点的场强。
解：应用补偿法和场强叠加原理求解。解：应用补偿法和场强叠加原理求解。
若把半径为R 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为s s -=¢的半径为R 的带电圆盘，由场强叠加原理知，P 点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。
“无限大”带电平面在P 点产生的场强大小为点产生的场强大小为 0
12e σ
=
E ，方向沿x 轴正方向轴正方向
半径为R 、电荷面密度s s -=¢的圆盘在P 点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）的场强公式）
2
2e s
=
E )1(2
2
x
R x
+-
，方向沿x 轴负方向轴负方向
故 P 点的场强大小为点的场强大小为
2
20212x R x
E E E +=
-=e s
方向沿x 轴正方向。轴正方向。
8. (1)8. (1)点电荷点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；电场强度通量；(2)(2)(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少强度通量是多少? ?
解：（1）由高斯定理0
d e q S E
s
ò
=× 求解。立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以通过各面电通量为量相等，所以通过各面电通量为广州2a大学
6e q
e =
F （2）电荷在顶点时，）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则通过边长a 2的正方形各面的电通量0
6e q e
=
F
对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则0
24e q
e =F ，如果它包含q 所在顶点，则0
=F e
。
1
s 9. 9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和2s ，试求空间各处场强。，试求空间各处场强。
s
O
R
x
P ·
x 1
E
2s
1
s
解：如图所示，电荷面密度为1s 的平面产生的场强大小为的平面产生的场强大小为
01
2e s =E ，方向垂直于该平面指向外侧，方向垂直于该平面指向外侧 电荷面密度为2s 的平面产生的场强大小为的平面产生的场强大小为
2
2e s
=
E ，方向垂直于该平面指向外侧，方向垂直于该平面指向外侧
由场强叠加原理得由场强叠加原理得
两面之间，)(2121021s s e -=-=E E E ，方向垂直于平面向右，方向垂直于平面向右
1s 面左侧，)(21210
21s s e +=
+=E E E ，方向垂直于平面向左，方向垂直于平面向左
2
s 面右侧，)(21210
21s s e +=+=E E E ，方向垂直于平面向右，方向垂直于平面向右
10. 10. 如图所示，一球壳体的内外半径分别为如图所示，一球壳体的内外半径分别为1R 和2R ，电荷均
匀地分布在壳体内，电荷体密度为r （0>r ）。试求各区域的电场强度分布。。试求各区域的电场强度分布。
解：电场具有球对称分布，以r 为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理åò
=×i
S
q
S d E 0
1e 得
i q r E S =×0
22
1
4e p
当
1
R r <；时，0
=S i q ，所以，所以 0=E
当21R r R <<；时，)3434(3
13R r q i p p r -=S ，所以，所以
2
03133)(r R r E e r -= 当2R r >时，)3434(3132R R q i p p r -=S ，所以，所以 2031323)(r
R R E e r -= 11. 11. 有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为1R 和2R （12R R >），若大球面的面电荷密度为s ，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。强度。
解:（1）电场具有球对称分布，以r 为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理åò=×i
S
q
S d E 0
1
e 得
i q r E S =×02
1
4e p
当2R r >时，0=E ，
0442122
=
×¢+×=
S R R q i p s p
s ，所以，所以 s s 21
2
)R R
（-
=¢
（2）当1
R r <；时，0
=S i q ，所以
，所以
0=E
当21R r R <<；时，222144R R q i p s p s -=×¢=S ，所以，所以
2
2)e s r R E （
-=
负号表示场强方向沿径向指向球心。负号表示场强方向沿径向指向球心。
12. 12. 一厚度为一厚度为d 的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为r ，求板内外的场强。求板内外的场强。 解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到
平板中心的距离均为x ，底面圆的面积为S D 。由高斯定理åò=×i S
q S d E 0
1
e 得 =×òS
S d E i q S E S E S =+D ×+D ×0
10e 当2
d
x <；时（平板内部），S x q i D ××=S 2r ，所以，所以
e r x E =
当2d x >（平板外部），S d q i
D ××=S r ，所以，所以 0
2e r
d E =
13. 半径为R 的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为r ，求其场强分布。，求其场强分布。
解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l ，底面圆半径为r ，
应用高斯定理求解。应用高斯定理求解。
i S q rl E S E S =×=×ò
01
π2d e
(1) (1) 当当R r <；时，
l r q i 2p
r ×=å，所以，所以 0
2e r r
E =
(2) (2) 当当R r >时，
l R q i 2p r ×=å，所以，所以
r R E 022e r =
14.一半径为R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为s ，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O 点的电势。的电势。
解：取半径为r 、dr 的细圆环rdr dS dq p s s 2×==，则dq 在O 点产生的电势为点产生的电势为
024e s pe dr
r
dq
dV =
=
圆盘中心O 点的电势为点的电势为
dr dV V R
òò
=
=0
02e s 0
2e s R
= 15. 真空中两个半径都为R 的共轴圆环，相距为l 。两圆环均匀带电，电荷线密度分别是l +和
l -。取两环的轴线为x 轴，坐标原点O 离两环中心的距离均为2
l
，如图所示。求x 轴上任一点的
电势。设无穷远处为电势零点。电势。设无穷远处为电势零点。
解：在右边带电圆环上取dq ，它在x 轴上任一点P 产生的的电势为产生的的电势为
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