凉山市重点中学2024学年中考联考数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．二次函数2
y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A ．4ac ＜b 2
B ．abc ＜0
C ．b+c ＞3a
D ．a ＜b
2．如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，作射线PD ，使∠APD=60°，PD 交AC 于点D ，已知AB=a ，设CD=y ，BP=x ，则y 与x 函数关系的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
4．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）
A ．20cm2
B ．20πcm2
C ．10πcm2
D ．5πcm2
5．在Rt △ABC 中∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，c ＝3a ，tanA 的值为（ ）
A ．13
B ．24
C ．2
D ．3
6．计算tan30°的值等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列计算正确的是( )
A ．326⨯=
B ．3+25=
C ．()222-=-
D ．2+2=2
8．计算22783
-⨯的结果是（ ） A ．3 B ．433 C ．533 D ．23
9．如图，已知△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI ，交FG 于点Q ，则QI=（ ）
A ．1
B 61
C 66
D ．43
10．有两组数据，A 组数据为2、3、4、5、6；B 组数据为1、7、3、0、9，这两组数据的（ ）
A ．中位数相等
B ．平均数不同
C ．A 组数据方差更大
D ．B 组数据方差更大
11．射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为 2s 0.51=甲，
2s 0.62=乙，2s 0.48=丙，2s 0.45=丁，则四人中成绩最稳定的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
12．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出
发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y （米）与甲出发的时间t （分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米
其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22019﹣1的个位数字是_____．
14．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为__________．
15．若分式22x x +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 16．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_________．
17．如果53x x y =-，那么x y
=______． 18．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△COD ，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，一次函数y ＝ax ﹣1的图象与反比例函数k y x
=的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知OA 10，tan ∠AOC ＝13
（1）求a，k的值及点B的坐标；
（2）观察图象，请直接写出不等式ax﹣1≥k
x
的解集；
（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．20．（6分）观察下列各个等式的规律：
第一个等式：
22
211
2
--
=1，第二个等式：
22
321
2
--
=2，第三个等式：
22
431
2
--
=3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：直接写出第四个等式；猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
21．（6分）知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且
距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参
考数据：sin53°≈4
5
,cos53°≈
3
5
，tan53°≈
4
3
凉山州中考成绩查询时间)
22．（8分）如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；
若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由．
23．（8分）阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，则BD ＝CE ．
(1)在图1中证明小胖的发现；
借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：
(2)如图2，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BDC ＝60°，求证：AD+CD ＝BD ；
(3)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝m°，点E 为△ABC 外一点，点D 为BC 中点，
∠EBC ＝∠ACF ，ED ⊥FD ，求∠EAF 的度数（用含有m 的式子表示）．
24．（10分）如图，在Rt △ABC 中，90C =∠，点D 在边BC 上，DE ⊥AB ，点E 为垂足，7AB =，∠DAB=450，tanB=34
. (1)求DE 的长；
(2)求CDA ∠的余弦值．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣
32与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0）．绕点A 旋转的直线l ：y ＝kx +b 1交抛物线于另一点D ，交y 轴于点C ．
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