公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数
公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。
首先，我们需要了解一些基本知识。两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。
最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。
对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小
公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
12的倍数为12、24、36、48.
一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.
另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到到最小公倍数为止。比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。
还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。
对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90.
对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然
数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.
随堂练：1、既是30的倍数又是45的倍数还是75的倍数的数最小是450；2、三个连续自然数的最小公倍数是660，这三个连续自然数分别是220、221和222.
最小公倍数和最大公因数在数学中有着广泛的应用。解决这类问题的关键在于掌握相应的技巧和公式。
最大公因数的求解技巧是，当所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的位置时，可以将其视为大数（即处于被除数、被除数、积）的因数。如果出现相同的/最长的所求数量，则可以求它们的公因数/最大公因数。
最小公倍数的求解技巧是，当所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的位置时，可以将其视为小数（即处于除数、商、因数）的倍数。如果出现相同的/最小的所求数量，则可以求它们的公倍数/最小公倍数。
此外，还有一些与具体形状相关的公式，如计算小长方形、小正方形、小长方体、小正方体
自然数指的是什么个数的公式，以及剩余定理和植树问题的公式。
经典题目包括求解大长方形裁成小正方形的边长和数量，以及拼成大正方形所需的小长方形数量和大正方形的边长。解决这类问题需要灵活运用以上的技巧和公式。
3、一个长方体的长、宽、高分别为24厘米、18厘米、12厘米，将其裁剪成若干个小正方体，使得小正方体的边长最长且没有剩余。求裁剪后小正方体的棱长和最多能裁剪出多少个小正方体。
4、一个长方体的长、宽、高分别为6厘米、4厘米、2厘米，问至少需要多少个这样的小长方体才能拼成一个大的正方体，此时大正方体的棱长是多少厘米？
5、一路车每隔5分钟发一次车，二路车每隔6分钟发一次车，现在它们同时发车，问它们至少需要多少时间才能再次同时发车？
6、___、___、修畅分别每5天、3天、6天去一次图书馆，今天她们同时在图书馆，问她们至少需要多少天才能再次同时在图书馆？
7、五（3）班做早操，每6人一排或每7人一排都能排成整排且没有剩余，问五（3）班至少有多少人？
8、五（3）班做早操，每6人一排或每7人一排都剩余3人，问五（3）班至少有多少人？
9、五（3）班做早操，每6人一排少3人，每7人一排剩余4人，问五（3）班至少有多少人？
10、五（3）班分84个桃子和42个苹果给同学们，平均分给每个同学正好分完且没有剩余，问五（3）班最多有多少人？
11、两根铁丝分别长72米、48米，将它们裁剪成相等的段数，每段最长为多少米才能正好裁剪完且没有剩余？
12、有一段路每8米种一棵树，头尾都种共种了51棵树。如果改成每5米种一棵树，至少有多少米的路段不会种树？共有多少棵树不会被种植？
附加：
1、某城市的自来水收费标准根据不同的用水量分为三档，___家五月份用水9立方米，问他
应该支付多少水费？___家六月份支付31.20元的水费，问他六月份用了多少立方米的水？___家七月份用水1363立方米，八月份用水1384立方米，问他七月份需要支付多少水费？
2、五（3）班4位老师带领38名学生去动物园，门票分为大人票和儿童票，价格分别为20元和10元。购买团体票每10人为一张，一张团体票价格为80元。问如何购票最经济，最终需要支付多少元？
五（3）班和五（4）班共76位学生去划船。租一条大船30元，可坐15人；租一条小船20元，可坐8人。问如何租船最合算，最合算需要花费多少元。
一架天平上有5克和30克两个砝码，将300克的盐平均分成三份，最少需要称几次？称法是什么？
有14个大小完全相同的红球，其中一个是不合格品，能否用天平称出哪一个是不合格品？
妈妈在厨房烙饼，每次最多能在锅里放两张饼，烙一张饼需要2分钟，每面各需1分钟。问妈妈烙3张饼至少需要几分钟？
有6把钥匙和6把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多需要试几次才能确保全部配对成功？
有甲、乙、丙、丁四袋奶粉，甲袋最轻，丙袋最重，乙袋在甲和丙之间。用无砝码天平称一次，确定出丁排在第几位，应该如何称量？
容斥原理的应用。
1.五（3）班共有36名学生，其中语文优秀的有26人，数学优秀的有30人。问语文和数学都优秀的有多少人？
2.五（3）班共有36名学生，其中语文优秀的有25人，数学优秀的有30人，语数都优秀的有25人。问语数都不优秀的有多少人？
3.五（3）班共有36名学生，其中语文优秀的有25人，数学优秀的有30人，语数都优秀的有20人。问五（3）班共有多少名学生达到了优秀水平？
4.五（3）班共有多少名学生，其中语文优秀的有25人，数学优秀的有30人，语数都优秀的有20人，还有5人达不到优秀水平？
平时练：
1.第一天用短除法求以下数的最大公因数：12和30，24和36，39和78，72和84，45和60.
2.第二天用短除法求以下数的最小公倍数：42和105，24和36，48和25，30和45，60和84，18和20，126和60，45和75，12和24，45和60，76和80，36和60，27和72，42和105，24和36，48和25.
3.填空：1.甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（30）．2.36和60相同的质因数有（2和3），它们的积是（12），也就是36和60的（最大公因数）．3.互质数的两个数，没有共同的质因数。4.自然数a除以自然数b，商是15，那么a和b的最大公因数是（15）．
4.判断：1.√，2.×，3.√，4.√，5.√，6.×。

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。