1964年全国高考数学试题及其解析
1964年全国高考数学试题及其解析
2.甲乙二人在河的南岸O处，隔河在正北方向有一建筑物P.甲向正东、乙向正西沿河岸而行，甲每分钟比乙多走a米.10分钟后，甲望建筑物P在北a度西(即北偏西a度)，乙望建筑物P在北β度东(即北偏东β度)，求O与P之间的距离.
3.解方程x4+1=0；并且证明：平面内表示这个方程的根的四个点是一个正方形的顶点.
4.已知A、B、C是三角形的三个内角，求证:
5.已知方程x3+mx2-3x+n=0的三个根的
平方和为6，且知这个方程有两相等的正
根，求m、n的值.
6.圆台形铁桶的上口半径是15厘米，下底半径是10厘米，母线长是30厘米，将铁桶的侧面沿一条母线剪开铺平，得图中扇面形状的铁片ABCD.求A、B两点间的距离.
7.A、B、C、D四个点在平面M和平面N之外,A、B、C、D在平面M内的射影是A1、B1、C1、D1，在平面N内的射影是A2、B2、C2、D2.已知
A1、B1、C1、D1在一条直线上,A2B2C2D2是一个平行四边形，求证ABCD也是一个平行四边形.
8.下图中ABCD是正方形，其每边长为1；在正方形内,⊙O与⊙O＇互相外切，并且⊙O与AB、AD两边相切,⊙O＇与CB、CD两边相切.
(1)求这两圆半径之和.
(2)当两圆半径各多么长时，两圆面积之和最小?当半径各
多么长时，面积之和最大?证明你的结论
.
附加题
(1)如果把第8题中的正方形改成矩形，你能得到什么结果?为什么?
(2)如果把第8题中的正方形改成棱长为1的正方体，把圆改成球，你能得到什么结果?为什么?
1964年试题答案
1.解法一:
解法二:
2.解：如图，设OB=x，则OA=x+10a.
再设OP=h，则
htgα=x+10a,
htgβ=x.
h(tgα-tgβ)=10a,
3.解法一：原方程即x4=-1，也就是
x4=cos(2k+1)π+isin(2k+1)π
令k=0、1、2、3，就得到原方程的四个根:
如图,∠M1OM2等于x2的辐角减去x1的辐角，故
∴M1M2=M2M3=M3M4=M4M1.
∴M1M2M3M4是一个正方形.
解法二:x4+1=(x4+2x2+1)-2x2
∴原方程即
它的根是
如图，线段M2M1与M3M4显然都平行于OX轴，线段M4M1与M3M2都平行于OY 轴.
所以M1M2M3M4是一个正方形.
4.解法一：利用正弦定理
代入所要证明的等式的右边，并化简得
由余弦定理，上式右边就是cosA.
解法二：利用A=π-(B+C),
sin2B+sin2C-sin2A=sin2B+sin2c-sin2(B+C)
=sin2B+sin2C-(sinBcosC+cosBsinC)2
=sin2B+sin2C-sin2Bcos2C-cos2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC
=sin2B(1-cos2C)+sin2C(1-cos2B)-2sinBsinCcosBcosC
=2sin2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC
=2sinBsinC(sinBsinC-cosBcosC)
=2sinBsinC[-cos(B+C)]
=2sinBsinC·cos[π-(B+C)]
=2sinBsinCcosA.
两边除以2sinBsinC，得到
5.解法一：设这个方程的三个根为α、α、β.根据已知条件和根与系数的关系，得
(2)的两边乘以2，得
2α2+4αβ=-6,(3)
(1)与(3)的两边分别相加，得
4α2+4αβ+β2=0,
即(2α+β)2=0,
∴β=-2α.
代入(1),2α2+(-2α)2=6,
6α2=6,∴α=±1.
α=-1不符合题意，舍去.
故α=1,β=-2.
∴m=-(2α+β)=0,
n=-α2β=2.
数解法二：仿解法一得
代简，得α4-2α2+1=0,
即(α2-1)2=0,
∴α=±1.
α=-1不合题意，舍去.
故α=1，代入(2)得,β=-2.

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