中国传统文化的数学基础（一）
----论八卦、五行、天干地支、二十四节气、
数洛书与黄金分割的内在联系
中华传统文化源远流长，整体和谐、发展演化、相反相成是东方文化思想体系的重要组成部分。
一、黄金分割与斐波那契级数
（一）黄金分割
黄金分割数是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯发现，后来古希腊哲学家柏拉图将此称为黄金分割。把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比约为1.618 : 1或1 : 0.618，即长段的平方等于全长与短段的乘积。
黄金分割数是一个无理数，由公式为x2+ax-a2=0可以推导出，其极值为（√5±1）/2，即0.61803398…著名的斐波那契级数，后项与前项的比值与这个值无限接近。
(二)斐波那契级数
斐波那契级数：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377……意大利中世纪数学家斐波那契(1170-1240)提出。随着数字的增大，两数间的比值越来越接近黄金分割率，通项公式：
这个数列有如下性质：
1.从第3项开始每一项均为前两项之和；第10项开始，相邻两项之比接近黄金分割数，尤其从第12项开始至后，前后相邻两项比值的小数部分均为0.6180…无限接近于黄金分割无理数；
2.数列第5n项和第12n 项（n为正整数）的值与本项序列号具有相似性，即可以整除，如第5项5÷5、第25项75025÷25、第12项
144÷12余数为零。
二、阴阳学说与斐波那契数列的哲学联系：
对立统一规律是大自然的普遍规律，是事物发展的源泉和动力。中国传统的阴阳学说与西方的对立统一思想（较早的代表人物毕达哥拉斯、赫拉克里特、亚里士多德、黑格尔等）有共同之处：都承认事物具有相对立统一的两面性。我们生活在一个既相互对立、又相互统一的环境里，春去春来、日升日落、呼吸、走路、开门关门…大到银河系旋臂围绕银心旋转，小到电粒子围绕原子核运动，没有对立统一，我们这个世界就无法存在。
对立统一学说中关于事物的发展是是这样描述的：发展的本质是新
事物的产生和旧事物的灭亡。如果我们把事物发展分作A、B、C、
D、E…若干阶段，在A的基础上，新生事物B萌芽并逐渐发展，相对
来讲A为旧事物，B和A对立统一的结果是旧事物A消亡，新生事物B 取得主导地位；当A消亡、B取得主导地位以后，新生事物C萌芽并逐渐发展，相对来讲B成为旧事物，C和B之间对立统一的结果是旧事物B消亡，新生事物C取得主导地位…如果用数学公式来表达，则C=B+A, D=C+B, E=D+C，F=E+D…这很类似于斐波那契级数的性质，即后一项等于前两项的和。
在斐波那契数列中，第一项和第二项都是“1”，实际上无论第一项和第二项取任何值，数列相邻两项的比值都将无限趋近于于黄金分割常数0.618（或1.618）…例如：第一项任取2，第二项任取5，则数列为2,5,7,12,19,31,50,81,131,212,343,555…，第11项与第12项的比值为343/555=0.618…；第一项任取11，第二项任取7，则数列为
11,7,18,25,43,68,111,179,290,469,759,1228…，第11项与第12项的比值为759/1228=0.6180…
由此可知，相互对立统一的两个方面，无论它们初始的差距有多大，在对立统一发展的过程中，它们相互之间的关系总是无限趋近于平衡、和谐。
三、八卦、传统历法与斐波那契数列和黄金分割的关系
（一）八卦、十二地支、二十四节气与斐波那契数列的联系
易经的核心思想--阴阳学说是中华传统文化的根本。事物发展的一个完整周期分为从开始到高潮、又从高潮到结束两个过程。这两个过程就是互相对立又互相统一的关系。也就是说事物的发展是以“2”为周期的，即事物发展到第二个阶段结束就会回归到与原来起始点相似的状态。在这里，我们用2进制即以2为除数，去除斐波那契数列，得到的商表示完整的2阶段周期，为方便省略不写，只将余数记下来，就会得到：1、1、0、1、1、0…可以看到每隔3位数，数字就会重复。如果事物是以黄金分割的方式（即整体和谐的方式）发展的，那么在以2阶段周期的基础上，事物的发展过程可分为3个阶段，相邻的两个阶段之间符合黄金分割数。
以此为基础，可以将事物发展过程再细分为若干阶段，即以3为进制，如同以上的方法用3除斐波那契数列，余数得到如下数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0…得到以8阶段为周期的事物发展过程， 8个阶段每两相邻阶段之间的发展也符合黄金分割比例。
同理，以8为进制，用8去除斐波那契数列，得到如下数列：1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0、1、1、2、3…可推出12阶段事物发展周期，再以12为进制……，可推出24阶段事物发展周期。如果我们继续
以24为进制，用24做除数去除斐波那契数列，余数如下：
1、1、
2、
3、5、8、13、21、10、7、17、0、17、17、10、3、3、
16、5、21、2、23、1、0、1、1、2、3、5、8、13、21…
结果发现以24为进制所得到的仍然是24阶段周期！为了方便，我们把24这样的数称作“最终简谐数”，即：以该数为进制，在斐波那契数列中推理出的数仍为本身。
做一个小结：在一个自然周期内，如果我们按照阴阳学说或者对立统一的观点，可以把一个自然周期分为互相对立又互相统一的两部分，如一年可分为从冬至到夏至半年、再从夏至到冬至半年，一天可分为白昼和黑夜；如果再把这个自然周期分为若干段，且每相邻两段之间的发展速度都符合黄金分割的比例，和谐而又统一在同一自然周期的整体内，那么我们就可以推理出3段、8段、12段、24段的发展周期。这与中国传统的阴阳两仪（2段）、三爻（3段）、八卦（8段）、十二个月（12段）、二十节气（24段）是相符的。
四、五行与斐波那契数列和黄金分割的关系：
以上的推理以2进制开始阶梯式推理出24。如果我们随机取任何数作为一个自然周期内事物发展的阶段数，那么是否还能得到24这样的数呢？为了验证方便，我们用列表方法来推理，假设A是随机取的数，B是以A为进制在斐波那契数列中推理出来的数，如果B不是一个最终简谐数，就以B为进制继续推理…
A(随机)→B→ C→ D→ E 备注
26 84 48 --- 24 最终简谐数24
73 148 228 72 24 最终简谐数24
111 152 36 --- 24 最终简谐数24
336 48 --- --- 24 最终简谐数24
999 1368 72 --- 24 最终简谐数24
10001 10212 912 72 24 最终简谐数24
… … … … … …
5 20 60 --- 120 最终简谐数120，24的5倍
121 110 60 --- 120 最终简谐数120，24的5倍
398 66 --- --- 120 最终简谐数120，24的5倍
1194 264 --- --- 120 最终简谐数120，24的5倍
120 --- --- --- 120 最终简谐数120，24的5倍
… … … … … …
100 300 --- --- 600 最终简谐数600，120的5倍
200 300 --- --- 600 最终简谐数600，120的5倍
401 200 300 --- 600 最终简谐数600，120的5倍
950 900 --- --- 600 最终简谐数600，120的5倍
600 --- --- --- 600 最终简谐数600，120的5倍
… … … … … …
500 1500 --- --- 3000 最终简谐数…600的5倍
1000 1500 --- --- 3000 最终简谐数…600的5倍
2000 --- --- --- 3000 最终简谐数…600的5倍
3500 6000 --- --- 3000 最终简谐数…600的5倍
3000 --- --- --- 3000 最终简谐数…600的5倍
… … … … … …
2500 7500 --- --- 15000 最终简谐数…3000的5倍
10000 --- --- --- 15000 最终简谐数…3000的5倍
15000 --- --- --- 15000 最终简谐数…3000的5倍
… … … … … …
75000 --- --- --- 75000 最终简谐数…15000的5倍由上推理可以看出，最终简谐数如下：2
4、120、600、3000、15000、75000…它们有以下规律：最小的最终简谐数是24，后一个最终简谐数是前一个最终简谐数的5倍。回到我们前面讲到的斐波那契数列的性质：“数列第5n项（n为正整数）的值与本项序列号具有相似性，即可以整除”。我们会发现5这个数字是简谐整体美的象征。我们可以这样理解：把事物发展的每一阶段都看做一个整体”1”，那么五个阶段就可以量化为5，第五阶段的数量“5”与全部整体”5”具有了相似性。仍用斐波那契数列来表示：
1、1、
2、
3、5、8、13、21、3
4、5
5、89、144、233、377、610、987…75025…
用哲学的眼光来解释，就是事物发展到第5个阶段，第5阶段内部的数与事物发展的阶段总数（部分与整体）具有相似性，这时候事物发展到与起始点具有相似性的新的起点；如果此时把事物发展看作新的开始，前五项所有的总和看作一个新的整体”1”，那么等事物发展到第25个阶段的时候，事物发展的总和就扩大了5倍，第25个阶段上事物发展的数则为75025，与整体25具有相似性(即数列第5n[n为正整数]的值
与本项序列数具有相似性)…这样无穷无尽地发展下去，每发展到5倍便具有相似性，在斐波那契数列上放大是自然生率，倍数是
1.618，大到无穷；缩小是自然息率，倍数0.618，小至无尽…但无论放大或是缩小，自行五次即一个周期，…如下图:
综上所述，中国传统文化中的五行理论，是以阴阳的对立统一和事物发展的整体和谐（斐波那契级数方式）为基础，描述大自然按黄金分割方式和谐方法发展的一种理论。传统中的五行所说的金、木、水、火、土，不能机械地理解为纯粹的五类物质，它所指的其实是事物发展的五个阶段，如木所指的并非仅仅是草木之类，而是一种使万物生发、条达的一个阶段属性，如春季；金也并非仅仅指硬度较大的金属之类，而是一种使万物萧杀、收敛的一种阶段属性，如秋季。
同时，这种哲学意义还可以理解为一种大自然和社会整体和谐发展的一种系统观点：大至无外、小至无内，事物都以5倍速的速度发展着。大系统中套小系统，部分与整体具有相似性。
二十四节气与斐波那契数列中的最终简谐数24是相一致的，尽管最终谐和数不止24一个，有120、600、3000…等无穷多个，但24段周期是一个最简的简谐数（以2为进制逐步推理出来的）。如果有需要的话，其实按照5倍率把一年分为120或600个以至更多的节气也许未偿不可。传统中的五天一候，是按照5倍率的方式，将一天（自然周期）乘以5得来的，5天为一个具有相似性的周期，即一候；每年24
个节气，平均每个节气15天，则每个节气有三候。
这里需要说明的是，尽管斐波那契数列中第5n和第12n 项（n为正整数）都具有黄金分割的自相似性，但一个最终简谐数的12倍却不是最终简谐数，如24×12=288，斐波那契数列除以288，余数排列周期为48。所以尽管两者都具有自相似性，但5比12更具有规律性。（未完待续）
五、洛书、天干地支与斐波那契数列和黄金分
割的关系：
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