数论基础知识
小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数
1. 能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等；
2. 不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。
一、因数与倍数
1、因数与倍数
（1） 定义：
定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b的倍数。
注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数）
一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（2） 一个数的因数的特点：
1 最小的因数是1，第二小的因数一定是质数；
2 最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数
（3） 完全平方数的因数特征：
1 完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。
2 完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；
3 1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916）
2、数的整除（数的倍数）
（1） 定义：
定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。
定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b）
（2）整除的性质：
如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。
如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）：
①末位判别法
2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。
4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。
8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。
②截断求和法（从右开始截）
9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和
99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和
999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和
③截断求差法（从右开始截）
11的倍数特征：一位截断求差
101的倍数特征：两位截断求差
1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差
④公倍数法
6的倍数特征：2和3的公倍数。先判断是否2的倍数，再判断是否3的倍数。
12的倍数特征：4和3的公倍数。先判断是否4的倍数，再判断是否3的倍数。
3、奇数与偶数（自然数按是否能被2整除分类）
（1） 定义：
奇数：不是2的倍数的数。在自然数中，最小的奇数是1。
偶数：是2的倍数的数。在自然数中，最小的偶数是0。
（2）数的奇偶性质：
1 奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。
2 奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；
3 两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；
4 若 a、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性；
5 n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n 的倍数；算式中有一个是偶数，则乘积必是偶数。
6 连续的奇数或偶数差为2。如，与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。
7 奇偶分析：奇＋奇＝偶 奇－奇＝偶 奇×奇＝奇
奇＋偶＝奇 偶－偶＝偶 奇×偶＝偶
偶＋偶＝偶 奇－偶＝奇 偶×偶＝偶
4、质数与合数（非0自然数按因数个数分类）
（1） 定义：
质数：只有1和它本身两个因数的数。（因数个数：2个）
合数：除了1和它本身还有其它因数的数。（因数个数：3个或3个以上）
（2） 常见质数特征：
1既不是质数，也不是合数（1只有1个因数）；
2是最小的质数；4是最小的合数；
2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数（除2外，其它质数都是奇数）。
（3）100以内质数表（25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
（4） 分解质因数
1 唯一分解定理：任何一个大于1的自然数 N,如果N不是质数，那么N可以唯一分解成有限个
质数的乘积。
2 质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
3 分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。如：28＝2×2×7＝2²×7
4 通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
5 要求出乘积中末尾0的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数，不用考虑其它质因数。
（5） 互质数：公因数只有1的两个数为互质数。
常见的互质数：
1 相邻自然数：8和9
2 相邻奇数：21和23
3 2与任意奇数：2和15
4 不同的两个质数：11和 17
5 1与任意非零自然数：1和4
6 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质:3和14
7 公因数只有1的两个合数：6和25
8 如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、7
5、最大公因数与最小公倍数
（1） 定义：
最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用(a，b)表示。
最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，用[a，b]表示。
（2） 最大公因数的性质：
1 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。
2 几个数的最大公因数都是这几个数的因数。
3 几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。
4 几个数都乘一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m。
（3） 最小公倍数的性质：
1 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2 两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即(a，b)×[a，b]＝a×b
（4）求最大公因数的方法：
1 列举法
2 短除法
3 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
4 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。
（5）求最小公倍数基本方法：
1 列举法
2 短除法
3 分解质因数法
（6）分类求最大公因数和最小公倍数：
1 倍数关系：a是b的倍数，(a，b)＝b，[a，b]＝a
2 互质关系：a与b互质，(a，b)＝1，[a，b]＝a×b
3 一般关系：a与b不互质也不倍数，用短除法。(a，b)＝左侧除数连乘积，[a，b]＝除数和商
连乘积
6、分解质因数的运用：
（1）求一个数因数的个数
1 列举法：2个一组列举
2 分解质因数法：①分解质因数②所有不同质数出现次数+1连乘积（指数加1再相乘）
如：360＝2³×3²×5，360的因数个数：(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24（个）
（2）求一个数的所有因数的和
步骤：①分解质因数②所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。
如：180＝2²×3²×5，180的所有因数之和：(20＋21＋22)×(30数＋31＋32)(50＋51)＝7×13×6＝546
二、余数性质与同余问题
1、余数的性质
(1) 余数小于除数。
(2) 若a、b除以c的余数相同，则(a-b)或(b-a)可以被c整除。
(3) a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数。
（和的余数＝余数的和）
(4) a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。
（差的余数＝余数的差）
(5) a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
（积的余数＝余数的积）
2、余数的计算（求余数）
(1) 末位判断法：2，5，4，25，8，125
(2) 数字求和法：3，9
各个数位上数字之和除以3或9的余数＝某数除以3或9的余数。
如：234569。2+3+4+5+6+9＝29，因为29÷9＝3…2，所以234569÷9＝？…2，即234569≡29(mod 9)
(3) 截断求和法：99，999及其因数
99（3、9、11、33）：两位截断求和，得到的和除以99余数，即原数除以99的余数。
999（3、9、27、37、111、333）：三位截断求和，得到的和除以999余数，即原数除以999的余数。
如：12345。345+12=357,357＜999，所以12345÷999余357。
(4) 截断求差法：从右开始截断，奇段和－偶段和。11，101，1001及其因数7、11、13、77、91、143。
①11：一位截断作差。从右开始，1位截断，(奇数位数字之和)-(偶数位数字之和)÷11的余数,即为原数÷11的余数；如不够减，求出的负数+11。
如：234569。奇数位数字之和3+5+9＝17，偶数位数字之和2+4+6＝12，17-12＝5，所以234569÷11余5，即234569≡5(mod 11)
如：98，（奇数位8＜偶数位9）8-9＝-1，-1+11=10，则98÷11＝8……10，即98≡10(mod 11)
②101：两位截断作差。从右开始，2位截断，(奇位和)-(偶位和)÷101的余数,即为原数÷101的余数；如不够减，求出的负数+101。
③1001（7、11、13、77、91、143）：三位截断作差。从右开始，3位截断，(奇位和)-(偶位和)÷1001的余数,即为原数÷1001的余数；如不够减，求出的负数+1001。
3、费马小定理
如果p是质数，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
即：假如a是自然数，p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
如：a是自然数2，p是质数5，2和5互质，2（5-1）÷5余1。
a是自然数10，p是质数3，10和3互质，10（3-1）÷3余1。
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