数学建模与实验习题库a
1《数学建模与实验》习题库a 感谢信息与计算科学02级的五位同学作为毕业设计英文翻译任务完成了此习题库的构建工作他她们的工作分别为: 刘静: 第1 4章
朱佳琦: 第2 3 6章李新颖: 第5 7章朱晓强: 第8 9 10章甘永生: 第11 12章. 参考文献数学建模英文版机械工业出版社北京2003. 5. 经典原版书库原书名: A First Course in Mathematical Modeling Third Edition by Frank R. Giordano Maurice D. Weir William P. Fox. 第1章1.1习题1.写出下列序列的前五项40aa?? a 1na30a0a1 b 1na20a6 0a0 c 1na 2nana3 0a4 d 1na2na0a1 2.求序列第n项的公式a 33333…
b141664256… c214181161321… d1371531… 差分方程3.考察下列序列写出差分方程以表示作为序列中前一项的函数的第n个区间上的变化. 4.写出满足下列差分方程的序列前五项动力系统5.代入n0123写出下列动力系统表示的前四个代数方程. 6.写出你认为可以用动力系统来建模的若干行为的名称. 确切地对变化建摸对问题7-10写出能对所述情景的变化建模的动力系统的公式7.目前你在储蓄帐户上有月息为0.5的5000存款你每个月再存入200. 8.你的信用卡上有月息1.5的欠款500美元你每月偿还50并且没有新的欠款. 9.你的父母在考虑一项贷款期限30年每月要支付0.5利息的100000美元抵押贷款.试建立一个每月还款p且能够在360次负费后还清抵押贷款借款的模型.提示：如果na表示n个月后的欠款那么0a和360a表示什么呢10.你
的祖父母有一份年金.每月把上一个月结余的1作为利息自动存入年金.你的祖父母每月初要取出1000美元作
为生活费。目前他们的年金为50000美元.试用动力系统对年金建模年金会用光吗什么时候用光提示：当年金用光时na的值为多少1.1研究课题1 你希望买一辆新车而且选择范围仅限于SaturnCavalier和Hyundai.每家公司都向你提供2最优惠的交易条件: Saturn 车价13990 预付1000 月利率3.5直到60个月Cavalier 车价13550 预付1500 月利率4.5直到60个月Hyundai 车价12400 预付500 月利率6.5直到48个月你每个月为买车最多能付475美元。利用动力系统模型来决定你应该买哪家公司的车。1.2 习题  1.从引进到Tasmania岛的新环境里的养数量的增长得到下面的数据。年1814 1824 1834 1844 1854 1864 数量125 275 830 1200 1750 1650 根据数据画图形能看出某种趋势吗画出1814年后数量变化对年份的图形。构建一个能合理地近似描述你所观察到的变化的离散动力系统。2.下列数据表示从1790年到2000年的美国人口数据年份人口1790 3929000 1800 5308000 1810 7240000 1820 9638000 1830 12866000 1840 17069000 1850 23192000 1860 31443000 1870 38558000 1880 50156000 1890 62948000 1900 75995000 1910 91972000 1920 105711000 1930 122755000 1940 131669000 1950 150697000 1960 179323000 1970 203212000 1980 226505000 1990 248710000 2000 281416000 求能够相当好地拟合该数据的动力系统模型通过画出模型的预测值和数据值来测试你的模型。3.社会学家识别出一种称为社会扩散的现象即在人中传播一段信息一项技术革新或者一种文化时尚。人可以分为两类知道该信息的人和不知道该信息的人。在数目已知的人里可以合理地假设扩散率与知道该信息的人数和不知道该信息的人数的乘积成比例。记na为总数为N的人在n天后已经知道该信息的人数构建一个能近似表示人中已知道该信息的人数变化的动力系统。4.考虑在人口总数为N的孤岛上一种传染
性很强的疾病的传播问题。一部分岛上的人到岛外旅行并患上这种病回到岛上构建一个能近似表示患病人数变化的动力系统。5.假设我们考虑鲸鱼的生存问题如果鲸鱼数目降至低于最小生存水平m的话那么该物种将会灭绝还假设由于环境的容纳量M鲸鱼的数量是受到限制的即如果鲸鱼的数量高于M因为环境无法支持数量将会下
降。在下面模型中na表示n年后的鲸鱼数量试讨论模型1maaMkaannnn 6假设存在某种药物当其浓度大于100毫克/升时可以疾病。药物的初始浓度是640毫克/升从实验知道药物是以每小时现有量的20的比率衰减a构建一个表示每小时浓度的模型3b建立一张浓度值表并确定何时浓度到达100毫克/升7利用习题6研制的模型开一个初始剂量处方以及一个能把浓度保持在高出有效水平500ppm即百万分之五百或万分之五但低于安全水平1000ppm的维持剂量处方。用不同的值来做实验直到结果满意为止。8.在一处古篝火遗址附近发现了一个猿人头骨。考古学家确信该头骨和古篝火是同时代的。实验测试确定取自篝火的灰烬中仅留存原来的碳14量的1已知碳14以与其剩余量成比例的比率衰减而且碳14在5700年里衰减掉50。构建一个碳14测定年代的模型。9.附表的数据展示了一辆汽车的数据n以5英里/小时的增量计以及从刹车到停止的滑行距离na.例如n6表示6×530英里/小时时所需的停止距离为6a47ft。a计算并画出变化na??对n该图形能合理地近似表示一种线形关系吗b根据你在a中的计算对停止距离数据求一个差分方程模型。通过画出与n相对应的预测值的误差来测试你的模型。讨论模型的正确性。10把一罐冷冻饮料放在房间里。测量房间的温度并周期性地测量饮料的温度。构造预测饮料温度变化的模型。从你的数据估
计比例常数你的模型中误差的来源是什么1.2研究课题1.完成由Kathryn N Harmon写的UMAP教学单元。UMAP303号“计划生育新技术的传播”。该教学单元给出了有限差分方程在研究公众政策的传播过程中的有趣应用以了解各国政府如何实施各种计划生育政策。1.3习题  1.求下列问题中差分方程的解annaa3110a
bnnaa51100a c431nnaa640a d121??nnaa30a e21??nnaa10??a f2.31.01nnaa3.10a 2求下列问题的平衡点如果它存在的话把平衡点分类为稳定的或不稳定的。annaa1.11 bnnaa9.01 cnnaa9.01?? dnnaa1 e502.11??nnaa f502.11??nnaa g1008.01nnaa数
h1008.01nnaa i1008.01??nnaa j1001??nnaa k1001nnaa 3.建立下列初值问题的数值解画出数据的图形以观察解的模式。存在平衡点吗平衡点是稳定的还是不稳定的
a502.11??nnaa10000a b1008.01??nnaa 5000a 4c 1008.01??nnaa 5000??a d
1008.01??nnaa10000a e 1001??nnaa10000a 4.对下列问题如果存在平衡点的话求差分方程的解及其平衡点。对各种初值讨论解的长期行为并把平衡点按稳定和不稳定进行分类。a21nnaa10a b 21nnaa10??a c 2.31nnaa3.10a d 431??nnaa50a 5.目前你在储蓄帐户上有月息为0.5的5000美元存款你每个月再存入200美元。建立一个模型并求数值解以确定何时帐户上的存款达到20000美元。6.你的信用卡上有月息为1.5的欠款500美元你每月偿还50美元并且没有新的欠款平衡点是什么用信用卡的术语来说平衡点的意
思是什么求数值解帐户里的欠款什么时候还清最后付费为多少7你的父母在考虑一项贷款期限30年每月要支付0.5利息的100000美元抵押贷款.试建立一个每月还款p且能够在360次负费后还清抵押贷款借款的模型.提示：如果na表示n个月后的欠款那么0a和360a表示什么呢通过计算数值解的实验来求能确保360月30年还清贷款的p值。8你的父母正在考虑一项贷款期限30年每月支付0.5利息的抵押贷款。试建立一个每月还款p且能够在360次付费后还清的抵押贷款模型。他们每月可以还款1500美元试通过实验来确定他们能够借款的最大款额。提示如果na表n个月后的欠款那么0a和360a表示什么呢9你的祖父母有一份年金年金按前一个月的余额的1作为利息增长着。你的祖父母每月取出1000美元作为生活费。目前他们的年金为50000美元用动力系统建立年金模型。求平衡点。在这个问题中平衡点代表什么通过计算
数值解来确定年金何时用光10第1.2节例4的继续求出digoxin模型的平衡点平衡点的意义是什么11第1.2节问题6的继续用不同的初值和维持剂量来做实验。把给药间隔时间和给药量作为方便满意的度量求一种方便满意的组合。12第1.2节问题8的继续确定在古篝火遗址附近发现的猿人头骨的年代。1.3研究课题1.你计划拿出一部分薪水作为子女的教育经费你希望在帐户里有足够的存款使得从现在起20年后开始的8年里每月能提出1000美元帐户每月付给你0.5的利息。a从现在起你在20年里你需要累积多少钱才能完成你的投资目标假设从第一个孩子上大学你就停止投资——一种安全假设。b在以后的20年里你每月必须存多少钱2.假设我们正在考虑鲸鱼的生存问题又假设如果鲸鱼的数量低于最小生存水平m以下该种将会灭绝。还假设由于环境的容纳量M鲸鱼的数量是受限制的。即如果鲸鱼的数量超过了M那么由于环境不能支持数量会衰减在下列模型中na表示n年后鲸鱼的数量。对
M5000m100k0.00010a4000求数值解1maaMkaannnn 再对不同的Mm和k做实验试着对若干个0a的起始值做实验。你的模型有什么预测3完成由Donald RSherbert 写的UMAP教学单元UMAP322“差分方程及其应用”。该教学单元提供了有关求解一阶和二阶线性差分方程包括求解非齐次方程的待定系数是很好的入门引论还包括对人口问题和经济建模的应用。51.4习题1考虑例1汽车租赁公司用不同的系数值来做实验对给定的初值所得到的动力系统进行迭代。然后对不同的起始值做实验。你的实验结果是否表明模型对a系数b起始值是敏感的  2.考虑例3斑点猫头鹰和利用给定的起始值用不同的系数值来做实验。然后再试不同的起始值其长期行为是什么你的实验结果是否表明模型对a系数b起始值是敏感的呢3.在1805年的Trafalgar战斗中我们看到如果两军简单地正面交锋的话英军在战斗中大约要损失掉24艘战舰而法-西联军大约损失15艘战舰。我们还看到Nelson爵士利用分而治之的策略战胜了敌人的优势兵力。劣势兵力战胜优势兵力的另一种策略就是增强它所使用的技术设备。假定英军战舰装备了优良的武器。又假定法-西联军遭受的损失为英军战舰的15而英军遭受的损失为法-西联军战舰数的5。a形成一个差分方程组对双方的战舰数进行建模假设法西开始的战舰数为33英军的战舰数为27 b建立数值解以确定在新的假设条件下正面交战的话哪一方会赢。c利用Nelson爵士的分而治之战略结合英军战舰装备了优良武器的条件建立三次战斗的数值解4.假定斑点猫头鹰的主要食物来源是单一的食饵老鼠。生态学家希望预测在一个鸟兽类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种量水平。令nM表示n年后老鼠的种量nO表示n年后斑点猫头鹰的种量。生态学家提出了下列模型nnnnMOMM01.02.11?? nnnnMOOO002.07.01 生态学家想知道在栖息地两个种能否共存以及结果是否对起始种量敏感。a比较上面模型中系数的正负号和例3中猫头鹰-
模型中系数的正负号。依次解释正在建模的捕食者——食饵关系中四个系数1.2-0.010.7和0.002的正负号的意义。b对下列表中初始种数量进行检验并预测其长期行为猫头鹰老鼠情况A 情况B 情况C 情况D 150 150 100 10 200 300 200 20 c现在利用给定的起始值对不同的系数的值做实验然后再试不同的起始值。长期行为是怎样的你的实验结果是否表明模型对系数是敏感的是否对起始值敏感5在例4的投票趋势中对原点附近的起始值做实验原点是稳定平衡点吗试加以说明利用给定的起始值对不同的系数值做实验。然后试试不同的起始值。长期行为是怎样的你的实验结果是否表明模型对系数是敏感的是否对起始值敏感现在假定每个党都在补充新的党员。当每个党员补充了未登记公民作为
新党员时一开始就要假设选民总数要增加。对新党员人数不同的值做实验。长期行为是怎样的它对补充的速率是敏感的吗你怎样调整模型以反映选区的公民总数是不变的怎样调整模型反映你所在的选区正在发生的情况从长远的观点来看在你的选区里将会发生什么情况6.经济学家要研究单个产品的价格变化。据观察市场上产品的高价格会吸引更多的供应商。但是增加所供应的产品的数量会导致价格的下跌。随时间变化存在着价格和供应之间的相互作用。经济学家提出了下面的模型其中nP表示了第n年的产品价格而表示第n年产品的数量5001.01nnnQPP
1002.01??nnnPQQ a 该模型在直观上有意义吗常数100和500的意义是什么解释常数-0.1和0.2的正负号的意义6b 对下表的初始条件进行检验并预测长期行为价格数量情形A 100 500 情形B 200 500 情形C 100 600 情形D 100 400 7.1868年偶然从澳大利亚引入美国的吹绵蚧Icerya Purchasi威胁到甚至会毁灭
美国的柑橘业。为了对抗这种形势引进了一种天然的澳大利亚捕食者瓢虫Novius Cardinalis.瓢虫使得吹绵蚧的数量降低到一个相对低的水平。当发明了能杀死蚧的杀虫剂DDT后农民就使用DDT希望能进一步降低蚧的数量。但是事实证明DDT对瓢虫也是致命的而且利用了这种杀虫剂后的总效果是增了蚧的数量。令nC和nB分别表示n天后吹绵蚧和瓢虫的种量水平。推广习题4中的模型有nnnnnCBkCkCC211?? nnnnnCBkBkBB431?? 其中ik都是常数a讨论该模型中每个ik的意义b在一个种不存在时关于另一个种的增长的隐含的假设是什么c对系数取值并再试试几个起始值你的模型预测的长期行为是什么改变系数你的实验是否表明模型对系数是敏感的对起始值是否是敏感的d修改该捕食者-食饵模型使之能反映农民在常规的基础上使用杀虫剂以与瓢虫与吹绵蚧当前的数量成比例的杀死率杀死它们的情形。1.4研究课题1.完成由Martin Eisen写的UMAP教学单元UMAP553。“生物学中某些差分方程的图形分析”提出要求。许多生物种的增长可以用差分方程来建模。该教学单元展示了可以用图形方法来预测的某些方程的解的行为。2.对本节参考文献中列出的May等人的论文写一个综述报告。3.完成由Carol Weitzel Kohfeld写的UMAP教学单元UMAP304“党派支持的增长I模型和估计”。和UMAP305“党派支持的增长II”。UMAP304提供了政治动员的一个简单模型其改进把特殊党派的支持者和可能补充的非支持者之间的相互作用包括在内。UMAP305研究了一阶二次差分方程模型的教学性质。该模型是利用美国三个县的数据来检验的。第2章  2.1习题在习题1-8中情景是模糊地陈述的。从这些模糊的情景中识别要研究的问题哪些变量影响到问题识别中你已经识别的行为哪些变量最重要记住实际上没有正确的答案。1. 单种的总量增长。2. 一家零售店要建造一个新的停车场停车场应该怎样照明3. 一位农民期望他
的地里种植的粮食农作物的产量达到最大。他正确地识别了问题吗试讨论另一种目标。4. 怎样设计一个供大班级用的演讲厅。5. 一个物体从很高的地方掉下来何时它撞击到地面撞击到地面的力度有多大6. 某种产品的制造商应该怎样决定每年应该生产多少件产品以及每件产品应该标价多少7. 美国食品及药物局FDA想要了解一种新药对控制人口中的某种疾病是否有效。8. 滑雪者下山坡有多快7对于习题9-17中提出的情景识别值得研究的问题并列出会影响你已经识别的?形 谋淞俊Ｄ男┍淞靠梢酝耆 雎阅男┍淞吭诳 际笨梢匀衔  鞘浅Ｊ 隳苁侗鸪瞿阆胱邢秆芯康淖幽Ｐ吐鹗侗鹑魏文阆胧占 氖 荨?9. 一位植物学家有兴趣研究叶子的形状以及影响叶子长成这种形状的各种支配力量。她从一棵白橡树的底部剪下几片叶子发现叶子的相
当宽没有明显的锯齿形。当她到树的顶部去看时她发现有很明显的锯齿形而没有展得很宽的叶子。10. 不同大小的动物其他特征也不同。小动物比之于较大的动物叫声尖细心跳较快以及呼吸次数更多。另一方面较大的动物的骨骼比小动物的骨骼更为强壮较大的动物的直径和体长之比大于小动物。所以当体格从小到大增加时存在着以和动物尺寸的比例相应的规则的变形。11. 一位物理学家想要研究光的性质。他想了解当光线从空气进入平滑的湖中特别时在两种不同介质的交界处光线的路径。12. 拥有一队卡车的一家公司面临着因卡车使用年限和油耗而增加的维修费用。13. 人们偏爱于计算机的速度哪些计算机系统提供了最快的速度14. 怎样提高我们的能力使得每学期都能报名上最好的班级15. 怎样才能节约我们的一部分收入16. 考虑在竞争市场情况下一家刚开始运转的生产单一产品的新公司讨论该公司营业初期
的短暂的短期和长期目标。这些目标会怎样影响到雇员工作的指派该公司有必要要决定短期运行的最大利润吗17. 讨论利用模型来预测实际系统和利用模型来解释实际系统之间的差别。想象某些要利用模型来解释实际系统的情景类似地想象某些你要利用模型来预测实际系统地情景。2.1研究课题1. 考虑冲泡咖啡的味道问题。什么是影响味道的变量哪些变量一开始可以忽略假定除了水温外已经固定了所有的变量多数咖啡壶都用沸水以某种方式从底部的咖啡中蒸馏出滋味。你认为用沸水是产生最佳滋味的最优方式吗你将怎样检验这个子模型你将收集什么样的数据以及怎样去收集数据2. 一家运输公司正在考虑用直升飞机在纽约市摩天楼之间运送人员你被聘为顾问确定所需直升飞机的数量。精确地识别适当的问题运用模型构建的过程来确定你所选定的变量之间的关系所需要的数据。当你着手进行时可能需要重新定义你的问题。3. 考虑酿酒的问题提出若干商业制造商可能会有的目标把考虑品味作为一个子模型。什么是影响品味的变量哪些变量一开始就可以忽略怎样把余下的变量关联起来为确定这些关系什么样的数据将是有用的4. 一对夫妇应该买房子还是租房子因为抵押的费用上涨直观上看似乎存在一个抵押费用的价位高于这个价格决不要去抵押贷款买房。什么变量决定了总的抵押费用5. 考虑一家诊所的运作问题病人个人的病历档案必须保存而会计程序是一项日常工作。该诊所应该购买或者租用一个小型的计算机系统吗提出可能要考虑的目标。什么变量你会加以考虑你怎样建立变量之间的关系为决定你所选择的变量之间的关系需要什么样的数据为什么不同诊所的对这个问题会有不同的解决方法6. 什么时候车主应该更新汽车什么因数会影响到做出的决定哪些变量以开始可以忽略识别你要的数据以决定所选择的变量之间的关系。7. 一个人能跳多远在1968年墨西哥城举行的奥运会上美国的鲍勃。比蒙把世界记录提高了10该记录
一直保持到1996年奥运会列出影响跳远距离的变量。你认为墨西哥城的低空气密度可以解释这个10的差别吗8. 上大学是一项可靠的金融投资吗四年里没有收入而且大学的费用极高。什么因素决定大学教育的总费用怎么确定为使这项投资有利可图的必要条件2.2习题  1 图解地说明比例性y∝u/v的意义。82 如果一根弹簧被14磅的力拉长了0.3英寸那么9磅的力会拉长多少22磅的力又会拉长多少假设断言拉长的距离与作用力成比例的虎克定律成立. 3 如果一张建筑制图中0.75英寸表示4英尺那么27英尺用多长表示呢4 试决定下列数据是否支持对y∝z1/2的比例性论证如果是的话估计其斜率。Y∣  3.5 5 6 7 8 ―――――――――――――――――――――――――――――――― Z∣3 6 9 12 15 5. 在冥王星之外于太阳之间的平均距离为4004百万英里的地方发现一颗

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