第2课时 秦九韶算法与进位制
学习目标 1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律．
知识点一 秦九韶算法
1．求n次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法．
2．秦九韶算法的一般步骤：
把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：
(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x ＋a n－3，…，v n＝v n－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．
知识点二 进位制
若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n－1…a1a0(k)(a n，a n－1，…，a1，a0∈N,0<a n<k,0≤a n－1，…，a1，a0<k)．
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制数341(6)，十进制数一般不标注基数．
思考 59分59秒再过1秒是多少时间？
答案 1小时．
上述计时法遵循的是满60进一，称为六十进制．类比给出k进制的概念．“满k进一”就是k 进制，k进制的基数是k.
知识点三 进制间的转化
1．一般地，将k进制数a n a n－1…a1a0(k)转化为十进制：
a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.
2．把十进制的数化为k进制的数的方法是：
把十进制数除以k，余数为k进制的右数第一位数．把商再除以k，余数为k进制右数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法．
1．二进制数中可以出现数字3.( × )
2．把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法．( √ )
3．不同进制数之间可以相互转化．( √ )
韶题型一 秦九韶算法的应用
例1 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．
解 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1
＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
当x＝－2时，有v0＝1；
v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；
v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；
v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；
v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；
v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.
故f(－2)＝－1.
反思感悟 (1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算，则可提高运算效率．
(2)注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·x n.
跟踪训练1 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．
解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：
v0＝1；
v1＝1×2－12＝－10；
v2＝－10×2＋60＝40；
v3＝40×2－160＝－80；
v4＝－80×2＋240＝80；
v5＝80×2－192＝－32；
v6＝－32×2＋64＝0.
所以当x＝2时，多项式的值为0.
题型二 k进制化为十进制
例2 二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？
解 110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.
反思感悟 将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数．
跟踪训练2 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数．
(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数．
解 (1)1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.
(2)314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.
所以，化为十进制数是104 902.
题型三 十进制化k进制
例3 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数．
解 算式如图，
则458＝13 022(4)＝2 042(6)．
反思感悟 十进制数化为k进制数的思路为
除k取余倒序写出标明基数
→→.
跟踪训练3 把89化为二进制数．
解 算式如图，
则89＝1 011 001(2)．
秦九韶算法求多项式的值
典例 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．解 将f(x)写为f(x)＝((((x＋0)·x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.
按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：
v0＝1，
v1＝1×0.3＋0＝0.3，
v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，
v3＝0.2×0.3＋0＝0.06，
v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，
v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.
∴当x＝0.3时，f(x)的值为－0.079 6.
[素养评析] (1)当多项式中出现空项时，利用秦九韶算法求多项式的值，必须补上系数为0的相应项．这是本题的易错点．
(2)理解运算对象即求多项式的值，掌握运算法则即秦九韶算法，这些均是数学核心素养之数学运算的具体体现.
1．已知175(r)＝125(10)，则r的值为( )
A．1 B．5 C．3 D．8
答案 D
解析 ∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，
∴r2＋7r－120＝0，
∴r＝8或r＝－15(舍去)，
∴r＝8，故选D.
2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为( )
A．10 B．9 C．12 D．8
答案 C
解析 f(x)＝(((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋7，
∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12(次)，故选C.
3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x4＋2x3＋3x2＋x＋1当x＝2时的值时，第一次运算的是( )
A．1×2 B．24
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