第20讲 水平面和斜面上的圆周运动（转盘模型）及其临界问题
1．（2021·山东）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为细杆为轻质细杆，又因为其一端绕竖直光滑轴O转动，所以杆对球的力沿杆，即杆对球不做功，对小球完成一个完整的圆周运动过程，由动能定理得﹣f•2πL＝0，解得摩擦力f，故B正确，ACD错误。
故选：B。
一.知识总结
1.水平转盘上运动物体的临界问题
水平转盘上运动物体的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。
（1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。
（2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
（3）运动实例
2.解决临界问题的注意事项
(1)先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题。
(2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生变化。
(3)关注临界状态，例如静摩擦力达到最大值时，静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当所需向心力大于最大静摩擦力时开始相对滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。
3.斜面上圆周运动的临界问题
在斜面上做圆周运动的物体，根据受力情况的不同，可分为以下三类。
（1）物体在静摩擦力作用下做圆周运动。
（2）物体在绳的拉力作用下做圆周运动。
（3）物体在杆的作用下做圆周运动。
这类问题的特点是重力的分力和其他力的合力提供向心力，运动和受力情况比较复杂。
与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
二、例题精析
题型一.水平面上的圆周运动之转盘模型
例1．如图所示，两个质量相等、可视为质点的木块A和B放在转盘上，用长为L的细绳连接，最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A与转轴的距离为L，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力．现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，重力加速度为g，下列正确的是（ ）
A．当时，绳子一定无弹力
B．当时，A、B相对于转盘会滑动
C．ω在范围内增大时，A所受摩擦力大小一直变大
D．ω在范围内增大时，B所受摩擦力大小变大
【解答】解：A．当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，有kmg＝m•2Lω2
解得
ω1
知ω时，绳子具有弹力，故A错误；
B．依题意，设AB的质量为m，当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，方向指向圆心，A、B相对于转盘会滑动，对A有kmg﹣T＝mLω2
对B有T+kmg＝m•2Lω2
解得ω
当ω
时，A、B相对于转盘会滑动，故B错误；
C．当ω在0＜20大时间ω范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以f﹣T＝mLω2
当ω增大时，静摩擦力也增大，故C正确。
D．当ω时，B已经达到最大静摩擦力，则ω在ω内，B受到的摩擦力不变，故D错误；
故选：C。
题型二.斜面面上的圆周运动之转盘模型
例2．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。小物体质量为1kg，与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．角速度ω的最大值是rad/s
B．小物体运动过程中所受的摩擦力始终指向圆心
C．小物体在最高点的速度vm/s
D．小物体由最低点运动到最高点的过程中摩擦力所做的功为25J
【解答】解：A、当小物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：
μmgcos30°﹣mgsin30°＝mω2r
代入数据解得：ω＝1rad/s，故A错误；
B、由于小物体做匀速圆周运动，在圆盘面内静摩擦力的一个分量要与重力沿斜面向下的分量相平衡，另一个分量提供做圆周运动的向心力，所以小物体运动过程中所受的摩擦力不一定始终指向圆心，故B错误；
C、小物体在最高点的速度v的最大值为：v＝rω＝2.5×1m/s＝2.5m/s，故C错误；
D、小物体由最低点运动到最高点的过程中，根据动能定理得：﹣mg•2rsin30°+Wf＝0，代入数据解得摩擦力所做的功为：Wf＝25J，故D正确。
故选：D。
三、举一反三，巩固提高
1.水平转盘可绕竖直中心轴转动，如图甲所示。一小物块质量为m，放在转盘上到中心O的距离为r处，随着转盘角速度缓慢增大，小物块所受摩擦力F随时间变化的图像如图乙所示，小物块相对转盘始终未发生移动。则从t1到t2时间内，摩擦力对小物块做的功为（ ）
A．3F0r B．2F0r C．F0r D．F0r
【解答】解：t1时刻，根据牛顿第二定律得：
t2时刻，根据牛顿第二定律得：
根据动能定理得：
W
联立上述公式解得：W，故D正确，ABC错误。
故选：D。
2.如图所示，圆盘在水平面内绕竖直中心轴匀速转动，圆盘上P点有一小物体随圆盘一起转动且相对圆盘静止。下列说法正确的是（ ）
A．小物体仅受重力作用
B．小物体仅受重力、支持力作用
C．小物体受重力、支持力和向心力作用
D．小物体受重力、支持力和静摩擦力作用
【解答】解：圆盘转动时，小物体一起做匀速圆周运动，所受摩擦力提供向心力，所以小物体受重力、支持力、摩擦力作用，故ABC错误，D正确；
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