张1.5
5.（炸诺特博弈）假定奋个库诺特寡尖企业，好个企收具打相同的
不变单位生产戎本G市场逆芮求函数足；＞ =
“一Q，其中於是市场价格，Q= 2必足总供给呈，《是大尸岑的常数。企业/的战略是选择产量中最大化利润％々如一C2”c），给定其他企业的产［:。求库诺特-纳什均衡。均衡产S和价格如何随71的变化而变化？为什么？
参考答案：
C1）根据问题的假设可知各厂商的利润函数为：
鬌
5=5—（« — *，一）^1
其中i = l，…，〜将利润函数对％求导并令其为0得：
* = - - r - 2仏=0
*r
解得各厂商对其他厂商产量妁反应函数为：
•r
4 = （“一2心~c）/2
相据《个厂商之间的对称性，可知gf = qi =••• = ¥必然戎立。代入上述反应函数可解祷：
因此该傅弈的纳什均衡是所冇〃个厂商都生产产暈-
6-（伯川德博弈）假定两个寡头企业之间进行价格竞争（而不是产量竞争），两个企业生产的产品是完全替代的，井旦单位
牛产戎本相同且不变，企业1的价格为A，企业2的价格为/＞2。
如果/企业1的市场窬求函数是％—广U 企业2的需求函数是0;
如果外＞门，企、Ik的需求函数为（）• 企业2的需求函数为
r/—fh= fi，布场需求在两个企ik之问f，分，即— p V2，什么是
纳什均術价格？
假定消费者从价格低的厂商购买产品，如果两企业价格相同，就帄分市场，如果企业i 的价格高于另一企业，则企业i的耑求量为0，反之，其它企业的耑求量为0、因此，企业i
的需求函数巾下忒给出:
Q （Pi ） Pi < P-i q t = \
Q （Pi ）/2 Pi = p_i
0 Pi 〉P-i
从上述需求函数的可以看出，企业i 绝不会将其价格定得高于其它企业；巾于对称性， 其它企业也不会将价格定的高于企业i ，因此，博弈的均衡结果只可能是每家企业的价格都 相同，即灼=巧。但是如果Pi
=Pj 〉
c 那么每家企业的利润~-q, >0，因此，企 业i 只要将其价格略微低于其它企业就将获得整个市场的耑求，而且利润也会上升至 （£4 0）。同样，其它企业也会采取相同的策略，如 2 2
果此下去，直到每家厂商都不会选择降价策略，此时的均衡结果只可能是A=Pj=c 。此吋， Cl —
C
企业i 的崙求函数为a =1—。 张1.8
8. （Edgeworth 双寡火价格兗争）在练刁S 中，假定每个 企
业的餃大生产能力是单位生产戎本为 C = 10，需求函数 的参效a = 100。如呆两兮企业的价格相同，市场窬求在二 者之间帄分；如果/>. <；九，企业M 低价格企业）的产呈为 min （』00 — A ，K ）（即最大销售量不超过生产能力〉，企业j （耗 价格企业）的产姑为min[m ax （0,i00 —广尺），火]（即只有 均低价格企业不能满足霱求时•高价格企业才生产，并且产景 不超过生产能力〉.
说明企业1的支付函数适，
\（Pi — 10）min （100 — />, 9K ），/h < 户2 I
j （/>1 一
10）min （50 — A/2，人'〉，九二少2 汀 1［A .A ）二彳
（2>假定30</C<4S，证这个博弈不存在纯战略纳什 均衔。（这
个问题可能比较困难•谘参阅弗得伯格和桊勒尔 （1991〉，第 38—39 页，或 Tirole （1988〉，第 215—216 页。）
(/>i — 10)ruin< 100 。’otherwise
J K 一 />1，尺〉1 力1 > />2
张2.3
X下面的两人博弈可以解释为两个寡头企业的价格兗争愈中/> &企业1a^4l/ 9^4U 1 F W
利润函数是，
n r—一{p — «</ + <^)2 + ?
企业2的利润函数是：
7^2 =一（<? ~ 6），+ />
求解：
（3>两个企业同时决策时的（纯战略）纳什均衡；
（2>企业1先决策时的子博弈精炼纳什均衡；
C3）企收2先决策时的子博弈精炼纳什均衡。
是否存在某钱参数值使得每一个企业都希塑自己先决策？
（2）企业1先决策。根据逆推归纳法，先求企业2的反应函数:
=— 2（^ — 6） =
0 =>9 = 6
代入企业1的利洵函数，得划：
~~(P —+ c)2 +(/
—
~ { p — ah -V ey十A
再把该价格代入企让|的反应a纹，得:
因此企业2宄决策时子博弈完芙纳打均衡足：企业］定价为於- 十<；必—£；企4k 2定价右</ 一专T A。比P4两个企4k的利fW为：
(4)因为只有先决策旳利润大于后决策的利润时企业才希望先决策，因此当：
企牝j袷蜇GH，先决荥。这今+卞式4 «尹o的嘀况下总能滿足0当
6〉爹+A
企业2希望自己先选择，这个不等式要求《<O a因此根据上述
两个不等式，只要<2 <0，两个企业部会希望自己先：失茧D如果迸一步考虑利润必笨非负，枳么几个务教还必动满足6〉0、^+b
〉0、<•>() <D 7 + ah -<->0d»中«13个不岑戌关o 井j|.第H个不等戊戎立时必《玫立，i»s个不；式结合上述《 < 0, 符到叫个企业都希望左决策的条件是a < 0< A ■和e <
张2.4
4.考虑如下的双寡头市场的战略性投资模颂：企业和企业2
H前悄况下的单位牛产戎本总r_2a企业1可以引逬-顷新技术使单位
邡
4:-产戎本降低到r一，该项技木蔴费的投资为人｛k业2可以现
察列企业i的投资决策•企企业］作出是农资的决策之后，两
个企业向时选择产5(库比待馎弈因此，这是个两阶段博弈* «定
需求函数刃w = wM: 中夕足市场价格，g是两个企业的总产键。冋题：当乂取什么
值时，企业1将投资引进新技术?
麥考答衆:
分企业1笫一阶段来引送兗引进投资两种堉况，毎种传况都用逆推归纳法进行分析3
假没企业1第一阶段来投资引吏新技木。此吋两个企业的边呩戎本都足2，利润函数为：
々v (14 — g> — <?：) • q, —2Q,
r a -= ( J4 — 5/, —Q,)•— 2g r
求W个企、Ik刊润对各自产承的鵁导数并令为0，得:
= 14—2^! 一农—2 = 0
联立两个反应函数可解得辩什均衡产过为中=4，讲=4，此时企业1的利润为=16a 锊设企业1第•阶段引透筘技大。此对企业1的边际戎木下降到丨，网个企业的利润函数为：
jr x— ( 14 — Q：—/
<:■ G 4 — 9»一今••)• 9r、2呼.
求两个企业利权对各3产e的冶令为o.得：
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