2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)设(为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
(2)设,则div(gradr)=_____________.
(3)交换二次积分的积分次序:＝_____________.
(4)设矩阵满足,其中为单位矩阵,则=_____________.
(5)设随机变量的方差是,则根据切比雪夫不等式有估计
_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)设函数在定义域内可导,的图形如右图所示,
则的图形为
(2)设在点附近有定义,且,则
(A) .
(B) 曲面在处的法向量为{3,1,1}.
(C) 曲线在处的切向量为{1,0,3}.
(D) 曲线在处的切向量为{3,0,1}.
(3)设,则在=0处可导的充要条件为
(A) 存在. (B) 存在.
(C) 存在. (D) 存在.
(4)设则与
(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.
(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.
(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于
(A)-1. (B) 0. (C) . (D) 1.
三、(本题满分6分)
求.
四、(本题满分6分)
设函数在点处可微,且,,,考研满分多少
.求.
五、(本题满分8分)
设=将展开成的幂级数,并求级数的和.
六、(本题满分7分)
计算,其中是平面与柱面的交线,从轴正向看去,为逆时针方向.
七、(本题满分7分)
设在内具有二阶连续导数且,试证:
(1)对于内的任一,存在惟一的,使=+成立;
(2).
八、(本题满分8分)
设有一高度为(为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
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