2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题
1 设生产函数为Q AL K α
β
=; 其中Q 是产出量; L 是劳动投入量; K 是资本投入量；而
A ; α; β均为大于零的参数；则当Q =1时KL 的弹性为
2 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的 工资总额单位：百万元；则t W 满足的差分方程是___
3 设矩阵1111
11,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
考研满分多少且秩A =3；则k = 4 设随机变量X ;Y 的数学期望都是2；方差分别为1和4；而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不 等式{}
-6P X Y ≥≤ .
5 设总体X 服从正态分布2
(0,0.2),N 而1215,,
X X X 是来自总体X 的简单随机样本；则随
机变量()
22
110
22
11152X X Y X X ++=++服从___分布；参数为_______
二、选择题
1 设函数f x 的导数在x =a 处连续；又'()
lim
1,x a
f x x a
→=--则 A x = a 是f x 的极小值点. B x = a 是f x 的极大值点. C a ; fa 是曲线y = fx 的拐点.
D x =a 不是f x 的极值点; a ; fa 也不是曲线y =fx 的拐点.
2 设函数0
()(),x
g x f u du =
⎰
其中2
1(1),012
(),1(1),123
x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨
⎪-≤≤⎪⎩则gx 在区间0;2 内 A 无界 B 递减 C 不连续 D 连续
3 设1112
131414
13
12112122232424232221131323334343332314142
43
4444
43
42
410
0010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
其中A 可逆；则1B -等于 A 112A P P - B 112P A P - C 112P P A - D 121P A P -.
4 设A 是n 阶矩阵;α是n 维列向量.若秩0T
A αα
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
秩(A)；则线性方程组
(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.
()C 00T
A X y αα
⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00T A
X y αα
⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
必有非零解.
5 将一枚硬币重复掷n 次；以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数；则X 和Y 的相关系数等于
A -1
B 0 C
1
2
D 1
三 、本题满分5 分
设u = fx ;y ;z 有连续的一阶偏导数；又函数y =yx 及z =zx 分别由下列两式确定:
2xy e xy -=和0
sin ,x z
x t e dt t -=⎰
求du
dx
四 、本题满分6 分
已知f x 在−∞;+∞内可导；且lim '(),x f x e →∞
=lim(
)lim[()(1)],x
x x x c f x f x x c
→∞
→∞+=--- 求c 的值.
五 、本题满分6 分
求二重积分
22
1()2
[1]x y D
y xe
dxdy ++⎰⎰的值；其中D 是由直线y =x ; y = −1及x =1围成的平面
区域
六、本题满分7 分
已知抛物线2
y px qx =+其中p <0;q >0在第一象限与直线x +y =5相切；且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.
1 问p 和q 为何值时;S 达到最大 2求出此最大值.
七、本题满分6 分
设f x 在区间0;1上连续；在0;1内可导；且满足1130
(1)(),(1).x f k
xe f x dx k -=>⎰
证明：存在ξ∈0;1; 使得1
'() 2(1)().f f ξξξ-=-
八、本题满分7 分
已知()n f x 满足'1()()n x
n n f x f x x e -=+n 为正整数且(1),n e
f n
=
求函数项级数 1
()n
i f
x ∞
=∑之和.
九、本题满分9 分
设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
已知线性方程组AX =β有解但不唯一；试求: 1 a 的值;
2 正交矩阵Q；使T
Q AQ 为对角矩阵.
十、本题满分8 分
设A 为n 阶实对称矩阵；秩A=n;ij A 是()
ij
n n
A a ⨯=中元素ij a 的代数余子式i ;j =1;2;…;n ;
二次型1211
(,,
).n n
ij n i j i j A f x x x x x A
===∑∑
1 记12(,,),n A x x x =把1211(,,
).n
n
ij n i j i j A f x x x x x A
===∑∑
写成矩阵形式；并证明二次型
()f X 的矩阵为1A -;
2 二次型()T
g X X AX =与()f X 的规范形是否相同 说明理由.
十一、本题满分8 分
生产线生产的产品成箱包装；每箱的重量是随机的；假设每箱平均重50 千克；标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运；试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱；才能保障不超载的概率大于0.977. Φ2=0.977；其中Φx 是标准正态分布函数.
十二、本题满分8 分
设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G ={x ;y |1≤x ≤3;1≤y ≤3}
上的均匀分布；试求随机变量U ={X −Y } 的概率密度().p u
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题 1答案αβ
-
使用概念设()y f x =在x 处可导；且()0f x ≠；则函数y x 的弹性在x 处的值为
()
()Ey x x y f x Ex y f x ''== 详解由Q AL K αβ
=；当1Q =时；即1AL K αβ=；有1
,K A
L αβ
β
-
-
=于是K L 的弹性为：
EK EL L
K K
'=11
d A L L dL
A L
α
β
βαβ
β
----
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=111A L L A L
αββα
β
β
ααββ
----
-
-=⋅=-
2答案 11.22t W -+
详解t W 表示第t 年的工资总额；则1t W -表示第1t -年的工资总额；再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万；所以由差分的定义可得t W 满足的差分方程是：
11(120)2 1.22t t t W W W --=+%+=+
3答案-3
详解
方法1：由初等变换既可作初等行变换；也可作初等列变换.不改变矩阵的秩；故对A 进行初等
变换
111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦11
111001(1)2,3,410101001k
k k k k k k ⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⨯-⎢⎥
--⎢
⎥
--⎣⎦
行分别加到行 3
11101002,3,400100001k k k k +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦
列分别加到1列
可见只有当k =−3时;r A =3.故k =−3.
方法2：由题设r A =3；故应有四阶矩阵行列式0A =.由
111111111
111k k
A k
k
=
11111001(1)2,3,4101010
1
k k k k k k
k --⨯-----行分别加到行
3
11101002,3,400100
1
k k k k +---列分别加到1列3(3)(1)0,k k =+-=
解得 k =1或k = −3. 当k =1时;
1111111111111111A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦1
11100001(1)23400000000⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⨯-⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
行分别加到，，行 可知；此时rA =1；不符合题意；因此一定有k =−3. 4答案
112
所用概念性质切比雪夫不等式为：{}
2
()
()D X P X E X εε
-≥≤
期望和方差的性质：()E X Y EX EY +=+；()2cov(,)D X Y DX X Y DY +=++ 详解 把X Y +看成是一个新的随机变量；则需要求出其期望和方差. 故 ()220E X Y EX EY +=+=-+=
又相关系数的定义：(,)X Y ρ=
则
cov(,)(,(0.5)1X Y X Y ρ==-=-
()2cov(,)12(1)43D X Y DX X Y DY +=++=+⨯-+=
所以由切比雪夫不等式：
{}{}2
()31
6()663612
D X Y P X Y P X Y
E X Y ++≥=+-+≥≤
==
5答案F ；(10,5)
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