2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==． (B) 1,4k c ==-． (C) 3,4k c ==． (D) 3,4k c ==-．
(2) 已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()
233
2lim
x x f x f x x →-=( )
(A) ()20f '-． (B) ()0f '-． (C) ()0f '． (D) 0． (3) 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为( )
(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3． (4) 微分方程2
(0)x
x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为( )
(A) ()x
x a e
e λλ-+． (B) ()x x ax e e λλ-+． (C) ()x
x x ae
be λλ-+． (D) 2()x x x ae be λλ-+．
(5) 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><；且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )
(A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''><
(6) 设4
ln sin I x dx π
=
⎰
，40
ln cot J x dx π
=⎰，40
ln cos K x dx π
=⎰，则,,I J K 的大
小关系是( )
(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (7) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3
行得单位矩阵，记11001
10001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1
21P
P -． (8) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T
是方程组
0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )
(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．
指定位置上．) (9) 1
012lim(
)2
x x x →+= ． (10) 微分方程'cos x
y y e x -+=满足条件(0)0y =的解为 ．
(11) 曲线0
tan (0)4
x
y tdt x π
=
≤≤
⎰
的弧长s = ．
(12) 设函数,0,
()0,0,0,
x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨
≤⎩则()xf x dx +∞-∞=⎰ ． (13) 设平面区域D 由直线,y x =圆22
2x y y +=及y 轴围成，则二重积分
D
xyd σ=⎰⎰ ．
(14) 二次型222
123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数
为 ．
三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分)
已知函数20
ln(1)()x
a
t dt F x x
+=
⎰
，设0
lim ()lim ()0,x x F x F x +
→+∞
→==试求a 的取值范围． (16) (本题满分11分)
设函数()y y x =由参数方程3311,33
11,33x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线
()y y x =的凹凸区间及拐点．
(17) (本题满分9分)
设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1
x =处取得极值(1)1g =，求
211
x y z
x y
==∂∂∂．
(18) (本题满分10分)
x
设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若
,d dy
dx dx
α=求()y x 的表达式． (19) (本题满分10分)
(I)证明：对任意的正整数n ，都有111
ln(1)1n n n
<+<+ 成立． (II)设1
1
1ln (1,2,)2
n a n n n
=+
++
-=，证明数列{}n a 收敛． (20) (本题满分11分)
一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由
2212()2x y y y +=≥与221
1()2
x y y +=≤连接而成的．
(I) 求容器的容积；
(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m ，重力加速度为2
/gm s ，水的密度为3
3
10/kg m )．
图１
(21) (本题满分11分)
已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)D
f x y dxdy a =⎰⎰
，
其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xy
D
I xy f x y dxdy ''=
⎰⎰．
(22) (本题满分11分)
设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T T T ααα===，不能由向量组1(1,1,1)T
β=，
2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．
(I) 求a 的值；
(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示． (23) (本题满分11分)
A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
．
考研满分多少(I) 求A的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A．
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上．) (1)【答案】(C)． 【解析】因为03sin sin 3lim
k x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x x
cx
→--= ()
20
sin 3cos 22cos lim
k
x x x x cx →--=21
03cos 22cos lim k x x x
cx -→--= ()221
32cos 12cos lim
k x x x
cx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx
--→→-== 3
04
lim
1k x cx -→==．
所以4,3c k ==，故答案选(C)． (2)【答案】(B)．
【解析】()()
233
2lim
x x f x f x x
→-
()()()()
2233
0220lim
x x f x x f f x f x →--+=
()()()()33000lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤
--⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦
()()()0200f f f '''=-=-．
故答案选(B)．
(3)【答案】(C)．
【解析】()ln 1ln 2ln 3f x x x x =-+-+-
111
'()123
f x x x x =
++
--- 231211
(1)(2)(3)
x x x x x -+=---
令'()0f x =
，得1,2x =，故()f x 有两个不同的驻点．
(4)【答案】(C)．
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