2001考研数学一试题及答案解析
2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)设12(sin cos )x
y e C x C x =+(12,C C 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程の通解,则该方程为_____________.
(2)设222z y x r
++=,则div (grad r )
)
2,2,1(-=_____________.
(3)交换二次积分の积分次序:⎰
--01
12
),(y dx y x f dy =_____________.
(4)设矩阵A 满足2
40A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________.
(5)设随机变量
X の方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计
≤≥-}2)({X E X P
_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =则)
(x f y
'=の图形为
(2)设
),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则
(A ) (0,0)|3z d dx dy =+. (B ) 曲面),(y x f z
=在(0,0,(0,0))f 处の法向量为{3,1,1}.
(C ) 曲线⎩⎨
⎧==0
)
,(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处の切向量为{1,0,3}.
(D ) 曲线⎩
⎨⎧==0)
,(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处の切向量为{3,0,1}.
(3)设
0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导の充要条件为
(A ) 2
01
lim (1cosh)h f h →-存在.
(B )
01
lim
(1)h h f e h →-存在. (C ) 201
lim (sinh)h f h h
→-存在.
(D ) 01
lim [(2)()]h f h f h h
→-存在.
(4)设11114
0001
1110000,,1111000011110
000A B ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
则A 与B  (A ) 合同且相似.    (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.
(D ) 不合同且不相似.
(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上の次数, 则X 和Y の相关系数等于
(A )-1.
(B ) 0.
(C )
1
2
.  (D ) 1.
三、(本题满分6分)
求dx e e x
x
⎰2arctan .
四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z
=在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,
(1,1)|2f
x
∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=
(,))f x x .求
1
3
)(=x x dx
d ϕ.
五、(本题满分8分)
设)(x f =2
10,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩
将)(x f 展开成x の幂级数,并求级数∑∞=--12
41)1(n n
n の和.
六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L
)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱
1=+y x の交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.
七、(本题满分7分) 设
)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:
(1)对于(1,1)-内の任一0x ≠,存在惟一の)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;
(2)0
1
lim ()2
x x θ→=
.
八、(本题满分8分)
设有一高度为()h t (t 为时间)の雪堆在融化过程,其侧面满足方程)
考研满分多少()
(2)(22t h y x t h z +-=(设
长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少の速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)の雪堆全部融化需多少小时?
九、(本题满分6分)
设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =の一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,
t t βαα=+,
121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =の一个
基础解系.
十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵
A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.
(1)记P =(x A Ax x 2
,,),求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;
(2)计算行列式E A +.
十一、(本题满分7分) 设某班车起点站上客人数
X 服从参数为λ(0λ>)の泊松分布,每位乘客在中途下车の概率为
p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车の人数,求:
(1)在发车时有n 个乘客の条件下,中途有m 人下车の概率; (2)二维随机变量(,)X Y の概率分布.
十二、(本题满分7分) 设总体
X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本
12,X X ,
,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==n
i i X n X 2121,求统计量∑=+-+=n
i i n i X X X Y 1
2)2(の数学期望()E Y .
2001年考研数学一试题答案与解析
一、填空题
(1)【分析】 由通解の形式可知特征方程の两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为
22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.
由此,所求微分方程为''
'
220y y y -+=.
(2)【分析】 先求grad r .
grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫
=⎨
⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭
. 再求  div grad r=
()()()x y z x r y r z r
∂∂∂++∂∂∂
=2222223333
11132
()()()x y z x y z r r r r r r r r r
++-+-+-=-=.
于是
div grad r|(1,2,2)-=
(1,2,2)22|3
r -=.
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分の累次积分,因为10y -≤
≤时
12y -≤.由此看出二次积分02
1
1(,)y
dy f x y dx --⎰⎰
是二重积分の一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
02
1
1(,)(,)y
D
dy f x y dx f x y dxdy --=⎰
⎰⎰.
由累次积分の内外层积分限可确定积分区域D :
10,12y y x -≤≤-≤≤.
见图.现可交换积分次序
原式=02
20
211
11
11
(,)(,)(,)x
y
x
dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰
⎰⎰
⎰⎰
.
(4)【分析】 矩阵A の元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆の路均堵塞.应当考虑用
定义法.
因为
2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,
()(2)2A E A E E -+=,即  2()2
A E
A E E +-⋅
=. 按定义知
11
()(2)2
A E A E --=+.
(5)【分析】 根据切比雪夫不等式
2
()
{()}D x P X E X εε
-≥≤,
于是
2
()1
{()2}22
D x P X
E X -≥≤
=.
二、选择题
(1)【分析】 当0x <;时,
()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;
当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.
应选(D ).

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