2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学二
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
(1)已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小量，则（ ） (A) 1,4==k c (B) 1,4==-k c (C) 3,4==k c (D) 3,4==-k c
【答案】(C) 【解析】
由泰勒展开，因为33
sin ()3!x x x o x =-+，所以33(3)sin 33()3!
x x x o x =-+.
则，33333
9()3sin sin 33()4()322x x f x x x x o x x o x x ⎛⎫=-=--+=+- ⎪⎝⎭
. 当0x →时，3()4f x x ，所以选择(C) .
(2)设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则()
233
()2lim
x x f x f x x
→-=（ ）
2(0)(A) f '- )() 0B (f '- )(C) (0f ' (D) 0
【答案】(B) 【解析】
()
[]()23
233
3
2(0)()(0)()2lim
lim
x x x f x f f x f x f x f x x
x
→→⎡⎤----⎣⎦
=
()3300(0)()(0)lim 2lim (0)2(0)(0)x x f x f f x f f f f x x
'''
→→--=-=-=-。 (3)函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】(C)
【解析】
(2)(3)(1)(3)(1)(2)
()(1)(2)(3)
x x x x x x f x x x x --+--+--'=
---231211(1)(2)(3)x x x x x -+=--- 令2()31211g x x x =-+，由于2124311120∆=-⨯⨯=>，故()g x 有两个不同的实根，且不是1,2,3，所以()f x 有两个不同的驻点.
(4)微分方程2(0)λλλλ-''-=+>x x y y e e 的特解形式为（ ） (A) ()x x a e e λλ-+. (B) ()x x ax e e λλ-+.
(C) ()x x x ae be λλ-+. (D) 2()x x x ae be λλ-+
【答案】(C) 【解析】
特征方程为220r λ-=，解得特征根12r r λλ==-, 齐次方程20y y λ''-=的通解为12x x y C e C e λλ-=+, 非齐次方程2x y y e λλ''-=有特解1x y x a e λ=⋅⋅, 非齐次方程2x y y e λλ-''-=有特解2x y x b e λ-=⋅⋅,
故非齐次方程2x x y y e e λλλ-''-=+可设特解().x x y x ae be λλ-=+
(5)设函数(),g()f x x 均具有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0f g ><，且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分
条件是（ ）
(A) (0)0,g (0)0f ''''<>. (B) (0)0,g (0)0f ''''<<.
(C) (0)0,g (0)0f ''''>>. (D) (0)0,g (0)0f ''''><.
【答案】(A) 【解析】
(0,0)(0,0)(0)(0)0()()x z f g f x g y '''===，(0,0)(0,0)(0)(0)0()()y z f g f x g y '''===。
故(0,0)点为函数()()z f x f y =的驻点.
又(0,0)(0)(0)xx A z f g ''''==，
(0,0)'(0)'(0)0xy B z f g ''===，(0,0)(0)g (0)yy C z f ''''==. 若20AC B ->且0A >，因为()0,(0)0f x g ><，则(0)0,g (0)0f ''''<>。此时
(0,0)点为函数()()z f x f y =的极小值点。
(6)设()40
ln sin I x dx π=⎰，()40ln cot J x dx π=⎰，()40
ln cos K x dx π
=⎰，则,,I J K
的大小关系是（ ）
考研满分多少(A) I J K <<. (B) I K J <<. (C) J I K <<. (D) K J I <<.
【答案】(B) 【解析】 当04
x π
<<
时，有0sin cos 1cot x x x <<<< ，所以lnsin ln cos ln cot x x x <<，由
定积分的保序性可知应选(B) ．
(7)设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.记1100110001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,2100001010⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
P ，则A =（ ） (A) 12P P (B) 112-P P (C) 21P P (D) 121-P P
【答案】(D) 【解析】
易知100110,001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E ，
即12,=AP B P B =E ，故21=P AP E 。得1112121---A =P P =P P ，选答案(D) 。
(8)设1234(,,,)=A αααα是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是
方程组=0Ax 的一个基础解系，则*=0A x 的基础解系可为（ ）
(A) 13,αα （B ）12,αα (C) 123,,ααα (D) 234,,ααα
【答案】(D) 【解析】
易知*()3,()1r r ==A A ,*=0A x 的基础解系有3个线性无关的向量，由于
*=0A A A E =，所以1234,,,αααα是*=0A x 的解；又因为T (1,0,1,0)是方程组
0Ax =的一个基础解系，即13+=0αα，选答案(D) 。
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.
(9)10
12lim 2x
x
x →⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
.
【解析】
001212ln 111ln 22lim lim 0
12lim 2x x x x x x
x
x
x e e →→⎡⎤⎛⎫⎛⎫
+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦→⎛⎫+== ⎪⎝
⎭
0021
2ln 21
lim
lim
ln 2222
x x x x x e e e
→→-⋅====
(10)微分方程cos x y y e x -'+=满足条件(0)0y =的解为 y =.
【答案】sin x y e x -=. 【解析】
(
)
d d cos d x
x x y e e x e x C --⎰
⎰=⋅+⎰
()cos x e xdx C -=+⎰(sin )x
e
x C -=+
由于(0)0,y =故0C =，所以sin x y e x -=.
(11)曲线0
tan d 04x
y t t x π⎛⎫
=≤≤ ⎪⎝⎭
⎰的弧长 s =.
【答案】(ln 1. 【解析】
(4
40
sec ln |sec tan |ln 1s xdx x x π
π
===+=+⎰. (12)设函数,0
()00,
0x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩,（），则 ()xf x dx +∞-∞=⎰.
【答案】1
λ
【解析】
()0
00
1
1
1
1
()()(2)x x
t t x
xf x dx x e dx x e d x te dt λλλλλλλ
λλ
λ
+∞
+∞
+∞
+∞
----∞
==⋅=
=
Γ=
⎰
⎰
⎰⎰
.
(13)设平面区域D 由直线,y x =圆222x y y +=及y 轴所组成，则二重积
分 D
xyd σ=⎰⎰.
【答案】
7
12
.
【解析】 令cos sin x r y r θ
θ
=⎧⎨
=⎩，其中,02sin 42r ππθθ≤≤≤≤，所以，
()2sin 42
20
4
4
1
cos sin cos sin 2sin 4D
xyd d r r rdr d π
π
θ
ππσθθθθθθθ=⋅⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰
⎰
()2
556224
4
4
74
4cos sin 4sin d sin sin 12
6
d π
π
π
πππ
θθθθθθ=⋅===
⎰⎰。 (14)二次型2221,23123121323(,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性
指数为 。 【答案】2. 【解析】
二次型矩阵111131111⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
A ，令
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