1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
（1） 曲线在点（0,1）处的法线方程为_____________.
（2）设函数由方程确定，则_____________.
（3）_____________.
（4）函数在区间上的评价值为_____________.
（5）微分方程的通解为_____________.
二、选择题
1.设其中是由界函数，则处（ ）
（A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续
（C）连续，但不可导 （D）可导
2.设则当时，的（ ）
（A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶但不等价的无穷小 （D）等阶无穷小
3.设是连续函数的原函数，则（ ）
（A）当是奇函数时，必是偶函数
（B）当是偶函数时，必是奇函数
（C）当是周期函数时，必是周期函数
（D）当是单调增函数时，必是单调增函数
4.“对任意给定的，总存在正整数，当时，恒有”是数列收敛于的（ ）
（A）充分条件但非必要条件 （B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件
5.记行列式为，则方程的根的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
三、（本题满分5分）
求
四、（本题满分6分）
计算
五、（本题满分7分）
求初值问题的解
六、（本题满分7分）
为清楚井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N,缆绳每米重500N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①1N×1m=1J；m,N,s,J分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）
七、（本题满分8分）
已知函数求
（1）函数的增减区间及极值；
（2）函数图形的凸凹区间及拐点；考研满分多少
（3）函数图形的渐近线。
八、（本题满分8分）
设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且证明：在开区间（-1,1）内至少存在一点，使
九、（本题满分8分）
设函数二阶可导，且过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形面积记为，并设恒为1，求此曲线的方程。
十、（本题满分7分）
设是区间上单调减少且非负的连续函数，证明数列的极限存在。
十一、（本题满分6分）
设矩阵矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵
十二、（本题满分5分）
设向量组
（1）为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量线性表出；
（2）为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.
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