判断函数单调性的常见方法
判断函数单调性的常见方法
一、函数单调性的定义：
一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I∈A，如对于区间内任意两个值X1、X2，
1）、当X1<X2时，都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为函数的单调增区间；
2）、当X1>X2时，都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为函数的单调减区间。
二、常见方法：
Ⅰ、定义法：函数单调性
定义域判断函数单调性的步骤
1取值：
在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2，可设X1<X2;
2作差（或商）变形：
作差f(X1)-f(X2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形；
3定号：
确定差f(X1)-f(X2)的符号；
4判断：
根据定义得出结论。
例：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明
解：任取x1、x2∈(-∞，+∞)，x1<x2,则
f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)- (x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23)
=(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1)
=(x1-x2) [﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22]
∵x1、x2∈(-∞，+∞)，x1<x2,
∴x1-x2<0,（x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22>0
故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(-∞，+∞)上单调递增
Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：
1函数y=-f(x)的单调性相反
2函数y=f(x)恒为正或恒为负时，函数y=f(x)的单调性相反
3在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数
例：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性
解：设y1=-x+1,y2=1/x,
  ∵y1在（0，+∞）上↓，y2在（0，+∞）上↓,
  ∴y=-x+1+1/x在（0，+∞）内↓
Ⅲ、图像法：
说明：⑴单调区间是定义域的子集
      ⑵定义x1、x2的任意性
      ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数
              自变量与函数相对→单调减函数
Ⅳ、分析法：
复合函数单调性判断：
y=f(u)
增
增
减
减
u=g(x)
增
减
增
减
y=f(x)
增
减
减
增
例：判断y=1/(-2x-3)的单调性
解：令u=-2x-3,
∵y=1/u在（0,+ ∞）↓,在（-∞，0）↑，
u(x)在(-∞,+ ∞) ↓
∴y=1/(-2x-3)在（0,+ ∞）↑，在（-∞，0）↓
这种方法概括为“同减异增”
判断函数单调性的常见方法有定义法、直接判断法、图像法、分析法……
做题时要结合具体题意，出适当的方法解题。

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