函数的单调性
函数的单调性
[课标分析]
函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
[学习目标]
1.通过实例说明函数的单调性，不能结合图形进行解释
2.能够用严密的数学语言和符号对单调性进行说明
3.能够用定义法对函数的单调性进行证明
4.能够用实例说明“任意取值”的含义
5.能够解决简单的含餐的单调性问题
[教学重难点]
[重点]
1.函数单调性的概念；
2.判断和证明函数的单调性.
[难点]
1.理解函数单调性的概念
[教学重难点突破方法]
1. 多媒体演示创设情境，让学生通过观察气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，为概念的引入提供了必要性,并让学生带着问题（什么是函数的单调性？）进入
新课;
2. 问题串引导学生探究式学习法，小组合作和自主探究相结合，问题作引导，引发积极思考；
3.多媒体展示和学生板演相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性.
说明：1.如何用符号语言刻画“y随x的增大而增大（或减小）”。
通过回顾图像直观感受“y随x的增大而增大（或减小）”；再通过“列表法”由形入数在表中任选两对数据比较其大小第一次发现“y随x的增大而增大（或减小）”在解析式上的体现：如当时，有；再通过几何画板动画演示在x轴上任取两个数及图像上对应的函数值，比较其函数值的大小，引导学生体会数字表示与字母表示的区别；从而实现对“y随x的增大而增大（或减小）”的符号化描述。
2：如何理解“任意……都……”
突破策略：
通过概念辨析中设计的三个思考问题，帮助学生理解“任意……都……”的含义。
思考1：若定义在某区间D上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数在区间上D上一定是增函数吗？
思考2：函数在区间(1,3) 和[3,5]都是增函数，则函数在区间 (1,5]上一定也是增函数吗？
思考3：反比例函数在整个定义域上是减函数吗？
[教学过程]
（一）创设情境,引入新知
第一,先观察一个图形(函数)
(给出乌苏今年8月26日气温变化曲线图)
师：同学们和我一起来观察乌苏今年8月26日的气温曲线图，如果用函数观点来分析，设时间为t,温度为T,这条曲线表达的是关于这两个变量的函数关系吗？为什么？
（学生回答，教师结合学生回答追问：如果设时间t为自变量，能从图中得出自变量的变化范围吗？师追问：这个函数的定义域及它的对应关系）
师：观察图象，结合已学过的函数观点,你能说出这一天的气温变化规律吗？
预案:⑴当天的最高气温,最低气温及何时达到;⑵某些时段温度升高,某些时段温度降低
（师追问：最高气温和最低气温是在什么范围研究的？结合学生回答给以及时评价；如果在定义域内一部分一部分地研究，你又会发现什么规律？学生补充）
师：归纳关键点：研究函数性质要在整个定义域内研究；在定义域内的某个区间上，随着时间t的增加，对应温度升高、降低的变化规律就是函数的单调性
师: 除了气温在某一范围的变化规律，你还能举出生活中具有单调性质的实例吗?
师归纳:抛开实际背景,从函数观点看,它们都反映了在定义域内的某区间上，随着自变量的变
化,函数值变大或变小的规律（即函数的单调性）；同学们在初中就已学会用文字来描述函数的单调性,这节课我们就来学习一种更为方便的定义形式——用符号语言对单调性进行代数刻画.
（二）探索归纳,建构定义
第二,进一步研究
观察下列函数图象，（师：根据我们刚刚对“函数单调性的初步讨论”）说出函数的变化规律.
①②③
探究一：
问题1:根据上面的描述,对比函数与在区间上的变化规律,说出它们的不同点?
预案: 函数在整个定义域上都是增函数, 是在定义域内的区间上是增函数
师追问:如果要定义增函数,应该选择在定义域上还是在定义域内的区间上呢?
师归纳:单调性应与定义域内的区间相对应.
问题2:请归纳函数,在其定义域上和函数在区间上的共同特征,并试着用符号语言表述“函数在定义域内某区间D上是增函数”.
预案:增函数的共同特征:在定义域内某区间D上,函数值随自变量的增大而增大;（但学生描述可能不准确，如： 在区间D上,取两个自变量值，当时，有，则称函数在区间D上是增函数.）
第三步:产生认知冲突:
讨论：“在函数的定义域上，取两个自变量值，由,计算得到相应的函数值，则称函数在上是增函数”，这种说法对吗？为什么？
预案:⑴在定义域上不是增函数（举反例如，）;⑵在上取特殊值;⑶取特殊值不具有代表性，任意取,才能代表区间上的所有值.
（三）严格定义，理解概念
（多媒体给出定义）增函数：一般地，设函数的定义域为Ｉ
如果对于定义域Ｉ内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，则称函数在区间D上是增函数（increasing  function）.
师：有了增函数的定义,请你具体谈谈你对“在区间上是增函数”是怎样理解的？
预案：对定义域: 研究函数性质，首先应该在定义域内研究; 对区间:针对这个区间, 单调性与定义域内区间相对应,是局部概念;两个自变量的取值的任意性,代表了区间上所有值; 自变量变化与相应函数值变化的一致性.
师：有了对函数性质的这些认识，对比增函数的定义，你能给出减函数的定义吗？
教师应提出：函数在整个定义域内都是单调的，而函数在其定义域内不单调，只在区间上单调。
问题3：回到前面引课时的气温曲线，说出函数的单调区间，并指明函数在相应区间上是增
函数还是减函数.
（师：检测学生对定义的理解情况.）
巩固练习：判断下列说法是否正确,并结合定义说明理由.
(1)定义域为的函数，满足…，则函数在上是增函数.(    )
(2)对于定义域内的区间D,若任意时，都有，则函数在D上是增函数.  （  ）
变式：函数在D上增函数，若任意函数单调性，则有______
(3) 对于定义域内的区间D,任意，都有，则函数在D上是增函数.  (  )
师总结——有了定义，我们对函数的单调性有了什么新的认识：单调性反映了在定义域内某个区间上随自变量的变化，函数的变化规律；描述法比较形象的反映了函数的这一特征，但
不够精确；单调性的定义从代数形式进行刻画，更简练，更精确；
我们借助图象可以直观感知单调性,但无法操作，而且并不是所有函数的图象都很简单，如果我们目前画不出图象怎么办（教师举例）而单调性的定义，则为我们用代数法严格证明单调性提供了依据.
（四）知识应用
探究二：
例1：用定义证明:函数在其定义域上是增函数.
(师生合作完成如下步骤:⑴用区间表示定义域；⑵取值（突出“任意性”）两个不等的自变量值，(预案:以下有学生完成:不妨设；将自变量值代入到解析式得到相应函数值，（师问：如何比较，的大小呢?）希望获得，的什么关系，结论是什么.)
探究三：
例题2： 物理学中的玻意耳定律（其中，且为常数），告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强P将增大．试用函数的单调性证明之．
能力提升：“函数在定义域上是减函数”这个说法正确吗？并说明理由.(补充写出函数的单调区间
预案⑴函数在和都是减函数，所以在其定义域是减函数是正确的;⑵举反例，取，，所以在是减函数是错误的.
师：对学生判断做出评价，并指出函数在定义域内的区间单调但在定义域上并不单调.
(师补充作业:用定义证明函数在和都是减函数(课后完成))
(五)课堂小结：本节课你有哪些收获?
(学生交流本节课学习过程中的体会和收获,师生合作共同完成小结)①用定义证明函数单调性的方法和步骤:取值,作差变形,判定符号,下结论;
②数学思想方法:数形结合;等价转化;归纳和类比等思想方法的运用.

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