函数单调性的判定和证明方法
（一）、定义法
步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;
②作差：；或作商： ,≠0；
③变形 向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；
（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；
④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 函数单调性
当a<0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。（增两端，减中间）
证明：设，则
因为，所以,
所以，
所以
所以
设
则，
因为，
所以，
所以
所以
同理，可得
作商法：
例3. 设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1
（2）求证：f（x）在R上是减函数．
证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．
∴f（0）=1．
令m=x＜0，n=-x＞0，
则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，
∴f（-x）f（x）=1，
又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，
∴f(x)=
1 |
f(-x) |
＞1．
（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数 | 函数表达式 | 单调区间 | 特殊函数图像 |
一次函数 | 当时，在R上是增函数； 当时，在R上是减函数。 | ||
二次函数 | 当时，时单调减, 时单调增； 当时，时单调增，时单调减。 | ||
反比例函数 | 且 | 当时, 在时单调减，在时单调减； 当时, 在时单调增，在时单调增。 | |
指数函数 | 当时，在R上是增函数； 当，时在R上是减函数。 | ||
对数函数 | 当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数。 | ||
关于函数单调的性质可总结如下几个结论：
与+单调性相同。（为常数）
当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性。
当恒不等于零时，与具有相反的单调性。
当、在上都是增（减）函数时，则＋在上是增（减）函数。
当、在上都是增（减）函数且两者都恒大于0时， 在上是增（减）函数；当、在上都是增（减）函数且两者都恒小于0时， 在上是减（增）函数。
设,为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数。
例4.判断的单调性。
解:函数的定义域为，由简单函数的单调性知在此定义域内 均为增函数，因为,
由性质可得也是增函数；
由单调函数的性质知为增函数，
再由性质知函数+5在为单调递增函数。
例5.设函数，判断在其定义域上的单调性。
解:函数的定义域为.
先判断在内的单调性，由题可把
转化为，又故由性质可得
为减函数；由性质可得为减函数；
再由性质可得在内是减函数。
同理可判断在内也是减函数。故函数在内是减函数。
（三）、图像法.
根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例6.求函数的单调区间。
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