函数的单调性
知识点
1、增函数定义、减函数的定义：
（1）设函数的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值,当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是增函数，如图（1）当改变量时，都有，那么就称
函
数在区间M上是减函数，如图（2）
注意：单调性定义中的x1、x2有什么特征：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．
1、 根据函数的单调性的定义思考：由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)能否推出x1<x2(x1>x2)
2、我们来比较一下增函数与减函数定义中的符号规律，你有什么发现没有？
3、如果将增函数中的“当时，都有”改为当时，都有结论是否一样呢？
4、定义的另一种表示方法
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若即，则函数y=f(x)是增函数，若即，则函数y=f(x)为减函数。
判断题：
①已知因为，所以函数是增函数．
②若函数满足则函数在区间上为增函数．
③若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．
④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.
通过判断题，强调几点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。
函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
（2）单调区间
如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区
间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间．
函数单调性的性质：
（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
， 当时，都有，
（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值，当时， 都有，
（3） 函数的单调性还有以下性质．
1．函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的单调性相反．
2．当f（x）恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝f（x）的单调性相反．
3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．
4 .如果k>0 函数k与函数具有相同的单调性。
如果k<0 函数k与函数具有相反的单调性。
5..若0，则函数与具有相反的单调性,.
6. 若>O，函数与函数具有相同的单调性。
若 <0，函数与函数具有相同的单调性
7。.函数在R上具有单调性，则在R上具有相反的单调性。
复合函数的单调性。
如果函数 ，则
称为x 的复合函数。
解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量的定义域与值域的作用。
复合函数的单调性的判断：同增异减。
函数 | 单调状况 | |||
内层函数 | 增 | 增 | 减 | 减 |
外层函数 | 增 | 减 | 增 | 减 |
复合函数 | 增 | 减 | 减 | 增 |
| 函数单调性 | ||||
函数的单调性题型分类讲解
题型一：.单调性讨论
1.讨论函数y=(k-2)x+3(a≠0)在区间R内的单调性.
2.讨论函数f(x)＝ (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.
解：设-1＜x1＜x2＜１，则f(x1)-f(x2)＝-＝
∵x1，x2∈(-1，1)，且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，(1-x21)(1-x22)＞0
于是，当a＞0时，f(x1)＜f(x2)；当a＜0时，f(x1)＞f(x2).
故当a＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.
题型二：单调性判断与证明
1.下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是
A．y＝|x2－1| B. C．y＝2x2－x＋1 D．y＝|x|＋1
题型三：求函数的单调区间及该区间上的单调性
1.求下列函数的增区间与减区间
(1)y＝|x2＋2x－3|
2.判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？
题型四：.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性
若函数y＝ax,y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在（0,＋∞）上是________（填单调性）．
设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2－x)的单调区间．
解：令t(x)=2-x,则由已知得，f(t)在区间是(2，6)，
设函数y＝f（x）是定义在（－1，1）上的增函数，则函数y＝f（x2－1）的单调递减区间是______________
已知函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函数g(x) （ ）
A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数
C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数
设是上的减函数，则的单调递减区间为 .
题型五：已知函数的单调性，求参数的取值范围。
已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是 .
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