高一数学第7讲:函数单调性(学生版)
第7讲  函数的单调性
                                                                                 
                                                                                 
                                                                                 
1.设函数y=f(x)的定义域为A，区间DA，如果取区间M中的两个任意值，，当改变量x=x2-x1＞0时，有y=f(x2)-f(x1)＞0，那么就称函数y=f(x)在区间M上是      ；当改变量x=x2-x1＞0时，有y=f(x2)-f(x1)＜0，那么就称函数y=f(x)在区间M上是_______。
2.如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有      。
3.对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于            时，单调区间就不包括这些点。
                                                                                 
                                                                                 
                                                                                 
例1    证明函数f（x）=x+在（0，1）上是减函数。
例2    讨论函数f（x）=在x∈﹙-1，1﹚上的单调性，其中a为非零常数。
例3    做出函数f（x）=+的图象，并指出函数f（x）的单调区间。
例4    已知f（x）=8+2x-，g（x）=f（2-），试求g（x）的单调区间。
例5    判断函数y=在（-2，+∞）上的单调性。
例6    求函数y=2x-1-的最大值。
A
1.设（a，b），（c，d）都是函数f（x）的单调增区间，且∈（a，b），∈（c，d），﹤，则f（）与f（）的大小关系是（  ）
A.f（）﹤f（）          B.f（）﹥f（）
C.f（）=f（）            D.不能确定
2.设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题：1）若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）-g（x）单调递增；2）若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）-g（x）单调递增；3）若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）-g（x）单调递减；4）若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）-g（x）单调递减。其中正确的命题是（  ）
A.1）3）          B.1）4）          C.2）3）          D.2）4）
3.函数y=3x+2的单调增区间是（  ）
A.（-∞，-]        B.[-，]        C.[，+∞）        D.（-∞，+∞）
4.关于函数y=的单调性的表达正确的是（  ）
A.在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减      B.（-∞，0）∪（0，+∞）上递减
C.在[0，+∞）上递减                      D.在（-∞，0）和（0，+∞）上都递减
5.函数f（x）在定义域M内为增函数，且f（x）﹥0，则下列函数在M内不是增函数的是（  ）
A.y=4+3f（x）      B.y=[f（x）      C.y=3+      D.y=2-
6.定义在R上的函数y=f（x）关于y轴对称，且在[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（  ）
A.f（3）﹤f（-4）﹤f（-π）          B.f（-π）﹤f（-4）﹤f（3）
C.f（-4）﹤f（-π）﹤f（3）          D.f（3）﹤f（-π）﹤f（-4）
B
1.函数y=|x-1|的单调递增区间是        ，递减区间是       
2.若函数f（x）=a|x-b|+2在[0，+∞）上为增函数，则实数a，b的取值范围是         
3.证明函数f（x）=-在定义域上是减函数。
4.指出函数y=-+2|x|+3的单调区间。
5.已知函数f（x）的定义域为R，满足f（-x）=﹥0，且g（x）=f（x）+c（c为常数）在区间[a，b]上是减函数，判断并证明g（x）在区间[-b，-a]上的单调性。
C
1.如果函数f（x）=+bx+c，对任意实数t都有f（2+t）=f（2-t），比较f（1）、f（2）、f（4）的大小。
2.已知函数y=f（x）的定义域为（-1，1），且对任意的正数d，都有f（x+d）﹤f（x），求满足f（1-a）﹤f（-1）的a的取值范围。
3.求函数y=-的值域。
4.已知函数f（x）=，x∈[1，+∞﹚。（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞﹚，f（x）﹥0恒成立，试求实数a的取值范围。
1.已知函数f（x）=（a≠1），①若a﹥0，则f（x）的定义域是    ；②若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是   
2.已知f（x）为R上的单调递减函数，则满足f（）﹥f（1）的实数x的取值范围是（  ）
A.（-∞，1）                    B.（1，+∞）
C.（-∞，0）∪（0，1）          D.（-∞，0）∪（1，+∞）
3.设函数f（x）=（a﹥b﹥0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。
                                                                                 
                                                                                 
                                                                                 
函数单调性                                                                                 
1.函数f（x）=|x|和g（x）=x（2-x）的递增区间依次是（  ）
A.﹙-∞，0]，﹙-∞，1]          B.﹙-∞，0]，[1，+∞﹚
C.[0，+∞﹚，﹙-∞，1]          D.[0，+∞﹚，[1，+∞﹚
2.已知f（x）在区间（-∞，+∞）上是减函数，a，b∈R，且a+b≤0，则下列正确的是（  ）
A.f（a）+f（b）≤-[f（a）+f（b）]      B.f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）
C.f（a）+f（b）≥-[f（a）+f（b）]      D.f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）
3.函数f（x）在区间（-4，7）上是增函数，则y=f（x-3）的递增区间是（  ）
A.（-2，3）      B.（-1，10）      C.（-1，7）      D.（-4，10）
4.已知f（x）是R上的增函数，令F（x）=f（1-x）-f（3+x），则F（x）是R上的（  ）
A.增函数      B.减函数      C.先减后增函数      D.先增后减函数

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