考点07函数的单调性
与最值
【命题解读】
函数的单调性是函数的一个重要性质，在历年的高考中，单调性都有考察，这部分往往与导数去相联系，单纯的用定义证明函数单调性的题目几乎没有。对于最值问题往往与函数单调性相联系，在闭区间上的最值是出现最多的，而在导数极值最值那部分考察的比较多。
【命题预测】
预计2021年的高考函数的单调性出题还是以选择或者填空为主，主要是单调性的应用，应用单调性解不等式，判断大小，求解闭区间上的最值等问题。
【复习建议】
集合复习策略：
1.理解函数单调性的定义；
2.掌握函数单调性的应用；
3.会利用函数的单调性求参数的范围。
考向一 函数的单调性
1．函数的单调性：
增函数 | 减函数 | ||||
定义 | 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 | ||||
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 | 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 | ||||
图像描述 | 自左向右看图像是上升的 | 自左向右看图像是下降的 | |||
2.函数单调性的应用，应用函数单调性求解不等式以及判断大小，利用函数的单调性求参数的范围。
1. 【2020全国高中数学课时练】函数y=lo(x2+2x-3)的单调递增区间是 .
【答案】(-∞,-3)
【解析】由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,
即函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).
令t=x2+2x-3,则y=lot,
∵y=lot为减函数,
t=x2+2x-3在(-∞,-3)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,
∴函数y=lo(x2+2x-3)的单调递增区间为(-∞,-3).
2.函数f(x)=,若a=f（-）,b=f(ln 2),c=f（）,则 ( )
A. c>b>a B. b>a>c
C. c>a>b D. b>c>a
【答案】D
【解析】f(x)==1+,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
易知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,
且当函数单调性x<0时,f(x)<0,当x>0时,f(x)>0.
∵ln 2>0,-<0,ln <0,
∴b>0,a<0,c<0.
又-=-ln ,ln =-ln 3,
且-ln >-ln 3,∴->ln .
∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,
∴f-<fln ,
即c>a,∴b>c>a.故选D.
考向二 函数最值
前提 | 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 | |
条件 | (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M | (1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M |
结论 | M为最大值 | M为最小值 |
1. 【2019江西红七校联考】已知f(x)=(a>0且a≠1),若f(x)有最小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(,1) B.(1,+∞)
C.(0,]∪(1,+∞) D.(,1)∪(1,+∞)
【答案】C
【解析】①若a>1,
则当x≤1时,f(x)=ax+a单调递增,此时a<f(x)≤2a;
当1<x≤a时,f(x)=a-x+1单调递减,
当x>a时,f(x)=x-a+1单调递增,
故当x>1时,f(x)的最小值为f(a)=1.
若f(x)有最小值,则a>1.
②若0<a<1,
则当x≤1时,f(x)=ax+a单调递减,此时f(x)≥2a;
当x>1时,f(x)=x-a+1单调递增,此时f(x)>2-a.
若f(x)有最小值,则2a≤2-a,得0<a≤.
综上,实数a的取值范围是(0,]∪(1,+∞).
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