§2.2 函数的基本性质
考试要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.了解函数奇偶性的含义.3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 | 减函数 | |
定义 | 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 | |
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 | 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 | |
图象描述 | 自左向右看图象是上升的 | 自左向右看图象是下降的 |
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 | 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 | |
条件 | (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M | (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M |
结论 | M为最大值 | M为最小值 |
3.函数的奇偶性
奇偶性 | 定义 | 图象特点 |
偶函数 | 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 | 关于y轴对称 |
奇函数 | 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 | 关于原点对称函数单调性 |
4.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，非零常数T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
微思考
1．函数y＝f(x)满足∀x1，x2∈D，x1≠x2，>0(<0)，能否判断f(x)在区间D上的单调性？
提示 能，>0(<0)⇔f(x)在D上单调递增(单调递减)．
2．奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？
提示 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
(2)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( × )
(3)若y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝kf(x)(k<0)，y＝在区间D上单调递减．( × )
(4)若函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于x＝2对称．( √ )
题组二 教材改编
2．下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
答案 C
解析 f(x)＝x－1为非奇非偶函数，f(x)＝x2＋x为非奇非偶函数，f(x)＝2x＋2－x为偶函数．
3．函数y＝在区间[2,3]上的最大值是________．
答案 2
解析 函数y＝＝1＋在[2,3]上为减函数，
当x＝2时，y＝取得最大值＝2.
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
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