利用导数求函数的单调性
利用导数求函数的单调性
例讨论下列函数的单调性：
1．且；
2．且；
3．．
分析：利用导数可以研究函数的单调性,一般应先确定函数的定义域,再求导数,通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号,来确定函数在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时,分类讨论难于避免,不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同,应注意分类讨论的准确性．
解：1．函数定义域为R．
当时,
∴函数在上是增函数．
当时,
∴函数在上是减函数．
2．函数的定义域是或
①若,则当时,,
∴,∴函数在上是增函数；
当时,,∴函数在上是减函数
②若,则当时,,
∴函数在上是减函数；
当时,,∴函数在上是增函数
3．函数是奇函数,只需讨论函数在0,1上的单调性
当时,
若,则,函数在0,1上是减函数；
若,则,函数在0,1上是增函数．
又函数是奇函数,而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当时,函数在－1,1上是减函数,当时,函数在－1,1上是增函数．
说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题,在每一个局部问题中,原先的“不确定因素”不再影响问题的解决,当这些局部问题都解决完时,整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时,不仅要考虑到参数的取值范围,而且要结合函数的定义域来确定的符号,否则会产生错误判断．
分类讨论必须给予足够的重视,真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用,从而提高简化计算能力．
利用导数求函数的单调区间
例求下列函数的单调区间：
1．；
2．；
3．
分析：为了提高解题的准确性,在利用求导的方法确定函数的单调区间时,也必须先求出函数的定义域,然后再求导判断符号,以避免不该出现的失误．
解：1．函数的定义域为R,
令,得或．
∴函数的单调递增区间为－1,0和；
令,得或,
∴函数的单调递减区间为和0,1．
2．函数定义域为
令,得．
∴函数的递增区间为0,1；
令,得,
∴函数的单调递减区间为1,2．
3．函数定义域为
令,得或．
∴函数的单调递增区间为和；
令,得且,
∴函数的单调递减区间是和．
说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间,体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题,如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间,运算显得繁琐,区间难以准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增或递减区间写成并集的形式,如将例1函数的单调递增区间和递减区间分别写成和的错误结果．这里我们可以看出,除函数思想方法在本题中的重要作用之外,还要注意转化的思想方法的应用．
求解析式并根据单调性确定参数
例已知,且
1．设,求的解析式；
函数单调性2．设,试问：是否存在实数,使在内为减函数,且在－1,0内是增函数．
分析：根据题设条件可以求出的表达式,对于探索性问题,一般先对结论做肯定存在的假设,然后由此肯定的假设出发,结合已知条件进行推理论证,由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程,由于函数是可导函数,因此选择好解题的突破口,要充分利用函数的单调性构造等价的不等式,确定适合条件的参数的取值范围,使问题获解．
解：1．由题意得,
,
∴
∴
2．．
若满足条件的存在,则
∵函数在内是减函数,∴当时,,
即对于恒成立．
∴
∴,解得．
又函数在－1,0上是增函数,∴当时,
即对于恒成立,
∴
∴,解得．
故当时,在上是减函数,在－1,0上是增函数,即满足条件的存在．
说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式,它包含着运动、变化,也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径,具体到解题的过程,学生很大的思维障碍是迷失方向,不知从何处入手去沟通已知与未知的关系,使分散的条件相对集中,促成问题的解决．不善于应用恒成立和恒成立,究其原因是对函数的思想方法理解不深．
利用导数比较大小
例已知a、b为实数,且,其中e为自然对数的底,求证：．
分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点,适当的构造函数关系,在建立函数关系时,应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数,一般地,证明,可以等价转化为证明,如果,则函数在上是增函数,如果,由增函数的定义可知,当时,有,即．

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