函数的单调性与奇偶性
【知识要点】
1、函数的单调性定义：
一般的，设函数的定义域为I，如果对定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值，
若则在区间D上是增函数；若则在区间D上是减函数.
2、函数单调性的判定方法.
（1）定义法
（2）综合法：①函数与函数的单调性相反；
②当恒为正或恒为负时，函数的单调性相反；
③在公共区间内：增函数+增函数=增函数，增-减=增等.
（2）图像法.即根据函数的图像直接判断函数在区间上的单调性.
1、函数奇偶性的定义：
若函数的定义域D关于原点对称，
对于函数的定义域D内任意一个自变量，如果都有=－或+=0则称为奇函数；
对于函数的定义域内D任意一个自变量，如果都有= 〔或－=0〕，则称为偶函数.
2、注意：函数的定义域关于原点对称是判断该函数的奇偶性的前提.
3、奇偶函数图像的性质
（1）奇函数的图像关于原点对称。反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数为奇函数. 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同
（2）偶函数的图像关于y轴对称。反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数. 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
（3）若奇函数的定义域包含数，则=.
【典型例题】
例1、函数
在[1，2]上是单调递增函数，则实数
的取值范围是_________
例2、已知是偶函数，且其定义域为，求在坐标轴上的截距
例3、试判断函数在[，+∞)上的单调性．
例4、若函数是偶函数，试判断的奇偶性.
例5、设、都是单调函数，有如下四个命题：
①若单调递增，单调递增，则单调递增；
②若单调递增，单调递减，则单调递增；
③若单调递减，单调递增，则单调递减；
④若单调递减，单调递减，则单调递减；
其中正确的命题是（）
A．①③ B。①④ C。②③ D。②④
例6、函数，若它的增区间是[2，+，则的取值多少？若它在区间[2，+ 上递增，则的取值范围是多少？
例7、设函数对任意的都有，且时，.
(1) 证明：为奇函数.(2)证明：在上为减函数.(3)若求的取值范围.
【经典练习】
1、下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（）
A. B. C.
2、下列判断中正确的是（）
A．是偶函数 B。是奇函数
C．在[-5，3]上是偶函数 D。是偶函数
3、若为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是（）
A. B. C. D.
4、已知，且，那么等于（）
（A）－26 （B）－18 （C）－10 （D）10
5、已知函数在内是减函数，、，且，则有（）
A、 B、
C、 D、
6、如果偶函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是
（A）增函数且最小值为5 （B）增函数且最大值为5
（C）减函数且最小值为5 （D）减函数且最大值为5
7、已知函数．判断函数的奇偶性；
8、定义在上的奇函数若，且求的取值范围.
9、已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。
【课后作业】
1、若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是_________.
2、若函数是偶函数，则实数的值_________.
3、已知则.
4、函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则m的值为 .
5、如果定义域为的函数为奇函数，那么实数的值为_________.
6、奇函数在区间上是减函数且有最小值，那么在上是（）函数单调性
A、减函数且有最大值
B、减函数且有最小值
C、增函数且有最大值
D、增函数且有最小值
7、已知函数
图5
（1）在图5给定的直角坐标系内画出的图象；
（2）写出的单调递增区间．
8、已知函数.
(1)求实数的值.
(2)利用单调性的定义证明函数在区间上是增函数.
9、(1)已知的定义域为，且，试判断的奇偶性。
(2)函数定义域为，且对于一切实数都有，试判断的奇偶性。
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