第2讲 对数及对数函数
★知识梳理
对数的概念
如果ab=N〔a＞0，a≠1〕，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b
ab=NlogaN=b〔a＞0，a≠1，N＞0〕.
二、对数的运算性质
loga〔MN〕=logaM+logaN. loga=logaM－logaN.
logaMn=nlogaM.〔M＞0，N＞0，a＞0，a≠1〕
三、对数换底公式：logbN=〔a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0〕.
四、对数函数的图像及性质
①函数y=logax〔a＞0，a≠1〕叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下
②对数函数的性质：定义域：〔0，+∞〕； 值域：R； 过点〔1，0〕，即当x=1时，y=0.
当a＞1时，在〔0，+∞〕上是增函数；当0＜a＜1时，在〔0，+∞〕上是减函数。
五、对数函数与指数函数的关系
对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.。
★重、难点突破
重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。
函数单调性难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。
重难点：1．对数函数性质的拓展
〔Ⅰ〕同底数的两个对数值与的大小比较
假设，则
假设，则
〔Ⅱ〕同真数的对数值大小关系如图
对应关系为
〔1〕，〔2〕，
〔3〕，〔4〕
则作直线得
即图象在轴上方的部分自左向右底数逐渐增大
2．常见对数方程或对数不等式的解法
〔1〕形如转为，但要注意验根
对于，则
当时，得；当时，得
〔2〕形如或的方程或不等式，一般用换元法求解。
〔3〕形如的方程化为求解，对于的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决
★热点考点题型探析
考点1 对数式的运算
[例1]〔湛江市09届高三统考〕已知用表示
[解题思路]应设法对数换底公式将换成以常用对数，并且设法将12与45转化为2、3来表示
[解析]
[名师指引] 对数式的运算一般都是运用对数的运算性质及对数换底公式，在未来的高考中，对数式的运算可能要综合其他知识交汇命题
[新题导练]
1．〔高州中学09届月考〕的结果是
[解析]1；
2．〔中山市09届月考〕假设，求的值．
[解析] ； ∴
3．〔广东吴川市09届月考〕如果，那么的最小值是〔 〕
A．4；B．；C．9；D．18
[解析]18；由得，所以，又由题知
从而，，当且仅当时取“=”
考点2对数函数的图像及性质
题型1：由函数图象确定参数的值
[例2] 函数y＝log2｜ax－1｜〔a≠0〕的图象的对称轴方程是x＝－2，那么a等于( )
A.;B.－ ;C.2; D.－2
[解题思路]由于函数图象的对称轴方程是x＝－2,所以可以利用特殊值法求解
[解析] 如利用f〔0〕=f〔－4〕，可得0=log2|－4a－1|.∴|4a+1|=1.
∴4a+1=1或4a+1=－1.∵a≠0，∴a=－.
故选B
[名师指引]函数图象的对称性是常考知识点，高考要求要掌握几种基本的对称。
题型2：求复合函数值域及单调区间
[例3] 已知f〔x〕=log［3－(x－1)2］，求f〔x〕的值域及单调区间.
[解题思路]通过研究函数f〔x〕的单调性
[解析] ∵真数3－(x－1)2≤3，∴log［3－(x－1)2］≥log3=－1，
即f〔x〕的值域是［－1，+∞〕.
又3－(x－1)2＞0，得1－＜x＜1+，
∴x∈〔1－，1］时，3－(x－1)2单调递增，从而f〔x〕单调递减；
x∈［1，1+〕时，3－(x－1)2单调递减，f〔x〕单调递增.
[名师指引]对数函数与二次函数的复合函数的最值〔值域〕与单调性是常考知识点，解决的方法就是充分利用组成复合函数的各个基本函数的单调性以及复合函数的单调性法则。
[新题导练]
4．〔东皖高级中学09届月考〕假设函数是定义域为R的增函数，
则函数的图象大致是 〔 〕
[解析] D；由函数是定义域为R的增函数知，所以函数在上的减函数，将的图象向左平移一个单位即得
的图象，故应选D
5．〔09年山东济宁〕设，函数的图象如图2，则有
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