向量的点乘和叉乘,以及几何意义
向量的点乘和叉乘,以及几何意义
一、向量点乘。
（一）什么是向量点乘。
朋友！向量点乘，其实就是两个向量之间的一种运算。假设有两个向量→a=(a_1,a_2,a_3)和→b=(b_1,b_2,b_3)，那么它们的点乘→a·→b就等于a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3。比如说，→a=(1,2,3)，→b=(4,5,6)，那→a·→b=1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32。
（二）向量点乘的几何意义。
向量点乘的几何意义可有意思。它和两个向量的夹角有关。→a·→b=|→a||→b|cosθ，这里的|→a|和|→b|分别是向量→a和→b的模（也就是长度），θ是→a和→b之间的夹角。
比如说，有一个力向量→F作用在一个物体上，物体产生了位移向量→s。那么力所做的功W就等于→F·→s。假如力的大小是5N，位移的大小是3m，它们之间的夹角是60^∘。力向量的模|→F| = 5，位移向量的模|→s| = 3，根据点乘的几何意义，W=→F·→s=|→F||→s|cosθ = 5×3×cos60^∘= 5×3×(1)/(2)=7.5J，这样就算出力做的功。
二、向量叉乘。
（一）什么是向量叉乘。
向量叉乘也是两个向量之间的一种运算。对于向量→a=(a_1,a_2,a_3)和→b=(b_1,b_2,b_3)，它们的叉乘→a×→b是一个新的向量，这个新向量的坐标可以用行列式来计算：
→a×→b=<=ft|begin{array}{ccc}→i→j→k a_1a_2a_3 b_1b_2b_3end{array}right|=(a_2b_3 a_3b_2)→i-(a_1b_3 a_3b_1)→j+(a_1b_2 a_2b_1)→k
比如说，→a=(1,2,3)，→b=(4,5,6)，那→a×→b=<=ft|begin{array}{ccc}→i→j→k 123 456end{array}right|=(2×6 3×5)→i-(1×6 3×4)→j+(1×5 2×4)→k=(-3)→i+ 6→j+(-3)→k=(-3,6,-3)。
（二）向量叉乘的几何意义。
向量叉乘的几何意义也挺奇妙的。→a×→b得到的新向量的模|→a×→b|=|→a||→b|sinθ，这里的θ同样是→a和→b之间的夹角。而且这个新向量的方向是垂直于→a和→b所确定的平面的，它的方向遵循右手定则。
举个例子哈，假设有一个力向量→F作用在一个杠杆上，力的作用点到支点的向量是→r，那么力对支点的力
矩→M就等于→r×→F。比如说，|→r| = 2m，|→F| = 3N，它们之间的夹角是90^∘，那|→M|=|→r×→F|=|→r||→F|sinθ = 2×3×sin90^∘= 6N· m，力矩的方向就可以用右手定则来确定。
总之，向量的点乘和叉乘在数学和物理等很多领域都有很重要的应用，理解它们的运算和几何意义能帮助我们更好地解决很多问题。456是啥意思

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。