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2016年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A
B =
（A ）{0,1} （B ）{0,1,2} （C ）{1,0,1}-
（D ）{1,0,1,2}-
（2）若,x y 满足20,
3,0,x y x y x -⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤≤≥ 则2x y +的最大值为
（A ）0 （B ）3 （C ）4
（D ）5
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
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（4）设,a b 是向量．则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（5）已知,R x y ∈，且0x y >>，则
（A ）
11
0x y
-> （B ）sin sin 0x y ->
（C ）11022x
y
⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（D ）ln ln 0x y +>
（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（A ）
16
（B ）1
3
（C ）12
（D ）1
（7）将函数πsin(2)3y x =-图象上的点π
(,)4
P t 向左平移s (0)s >个单位长度得到点P '．若P '位
于函数sin 2y x =的图象上，则 （A ）12t =
，s 的最小值为π
6 （B
）t =
手机wifi无线解密，s 的最小值为π
6 （C ）12t =，s 的最小值为π3
（D
）t =
，s 的最小值为π3
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任
意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球
（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
第二部分（非选择题 共110分）
正（主）视图
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二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（ 9 ）设a ∈R ．若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a = ． （10）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答）
（11
）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则
||AB = ．
（12）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，350a a +=，则6S = ． （13）双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC 所在的直线，
点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a = ． （14）设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-⎪
=⎨->⎪⎩
≤
① 若0a =，则()f x 的最大值为 ；
② 若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．电话订票几点开始放票
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P
D
A B
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）
在ABC △
中，222a c b +=． （Ⅰ）求B ∠的大小；
cos A C +的最大值．
（16）（本小题13分）
A,B,C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分
学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：
（Ⅰ）试估计C 班的学生人数；
（Ⅱ）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记
为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A,B,C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25（单
位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小．（结论不要求证明）
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，
1AB =，2AD =，AC CD ==
（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
地球可自我调节温度（Ⅲ）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？
若存在，求AM
AP
的值；若不存在，说明理由．
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（18）（本小题13分）
设函数()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+． （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间．
（19）（本小题14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB △的
面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．
求证：||||AN BM ⋅为定值．
（20）（本小题13分）
设数列12:,,
,N A a a a (2)N ≥．如果对小于(2)n n N ≤≤的每个正整数k 都有k n a a <，
最美的岛屿则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （Ⅰ）对数列:2,2,1,1,3A --，写出()G A 的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A 中存在n a 使得1n a a >，则()G A ≠∅；
（Ⅲ）证明：若数列A 满足11n n a a --≤(2,3,,)n N =，则()G A 的元素个数不小于1N a a -．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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