中考数学热点题型一一阅读理解篇
阅读理解题是近年来出现的一种新题型，其特点鲜明、内容丰富、超越常规, 源于
课本，高于课本，活于课本，不仅考查了同学们的阅读理解的能力，而且还 综合考查同学们数学知识的综合应用能力，尤其侧重于考查同学们的数学思维能 力和创新意识.这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，让同学们通过阅读, 将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答. 为帮助同学们搞好后期复习，现以近年全国部分省市中考试题为例归类说明如 下：
一、定义新运算型阅读理解
定义新运算型阅读理解题，通常是先定义一个运算法则，你只要根据所提供的运 算法
则，代入相应的数据求出结果即可.
例1 (梅州市)将4个数a, b, c, d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 1) (1 —x) =6，艮P (x+1)2+(X —1)2 = 6，所以 X 2=2，即 x=± 扼.
说明：本题只需将新定义的运算转化成一元二次方程，即可正确求解.
二、运用新推导的结论求解型阅读理解
言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高数学素质的前提.数学 中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学 的基础，这类试题就是为检测解题者理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨 别是非的能力而设置的.
例2 (德阳市)阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c = 0的两根为x” x 2，则两
b c
根与方程系数之间有如下关系：X1+X2=— a , X1 • x 2= a .根据该材料填空：
x 2 %
已知X” &是方程x2+6x+3 = 0的两实数根，则叫+工2的值为—
x 2 X] .r 2
x 22 + x ；2 +x 2)" 分析：由于要求的代数式也+切，而X 1 + X 2 = X 1X 2 = X 1X 2 ，这 样只要通过阅读，由方程
求出X1+X2和xl ・x2，再代入即可求解. 解： 通过阅读，因为xl, x2是方程x2+6x+3 = 0的两实数根，所以xl+x2 = —
X 也 必+妒 (%1+了2)2—2工内
a b a b
x+1 x-1 c d ，定义 c d = ad —be，上述记号就叫做2阶行列式.若 1-x x + 1 =6,
腐乳肉怎么做a b x+1 x-1 分析： 由于 c d = ad-bc，于是可以仿照这一等式的结构将
1-x x + 1 =6 则x
写成整式方程即求得X.
a b x + 1 x-1
c d = ad —be，所以 1-x x + 1 =6 可以转化为(x+1) (x+1) — (x — 解：因为
6, xl・x2 = 3.又因为也+ *2 = X1X2 = X1X2 ，所以原式=
(-6)2-2x3
3 =10.
硅藻泥排名说明：求解本题的关键是要通过阅读理解并掌握对于一元二次方程ax2+bx+c
b c
=0的两根为xl, x2，则两根的和为一。，两根的积为a.
三、易疏忽或混淆的易错型阅读理解
这类题的形式，一般以学生所学的基本概念，定理为基础，提供给学生一题的解题过程，判断题中某步正误并改正.这就要求同学们要扎实掌握基本的概念，定理及易错知识点，为阅读纠错奠定好基础.
例3 (临安市)阅读下列题目的解题过程：
已知：a、b、c为MBC的三边，且满足a2c"—b2c2 = a4-b4，试判断ZXABC的形状.
解：Va2c2-b2c2 = a4-b4 (A)
... c2 (a2-b2) = (a2+b2) (a2-b2) (B)
...c2 = a2+b2 (C)
「.△ABC是直角三角形.
问：(1)±述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该误步的代号:.
(2)错误的原因式为：.
(3)本题的正确结论为：.
分析：通过观察分析，求解过程中的(A)是已知条件、(B)是因式分解，并
没有错误，问题是由(B)到(C)时出现了错误.
解(1) C.
(2)错误的原因是由(B)到(C)时，等式两边同时约去了因式(a2-b2)，而(a2-b2) 可能等于0.
(3)AABC是等腰三角形或直角三角形.
说明：解答此题的关键是弄清等式性质(2)的使用条件.在上述等式两边同时约去因式(a2-b2)时，要分a2-b2尹0或a2-b2 = 0两种情况讨论.因此，Z\ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，而不是等腰直角三角形.
四、应用新方法型阅读理解
上海科技馆一日游例4 (岳阳市)阅读下列材料，然后解答后面的问题：
我们知道方程2x+3y = 12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解.
12-2x 2
例：由2x+3y = 12，得 y=3=4一3 x, （x^ y 为正整数）
x>0, 2 2
...112-2x>0.则有o vxv6. 又y = 4—2为正整数，则2为正整数.
2
由2与3互质，可知：x为3的倍数，从而x = 3，代入y—4 — 3 X 3 —2,
x = 3,
<
/.2x+3y=12的正整数解为» = 2・
问题：（1）请你写出方程2x+y = 5的一组正整数解：
6
（2）若=为自然数，则满足条件的x的值有个.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
名人 故事C3）八年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？
6
分析：对于（1），可以直接仿照阅读材料求解.（2）抓住x-2是自然数，对x选值，并逐一代入，若是自然数即保留.（3）若设购买单价为3元的笔记本m 本，单价为5元的钢笔n支.则可以列出一个二元一
次方程，再利用（1）的方法讨论，从而可以确定购买方案.
x>0,
解：（1）由2x+y = 5，得y = 5 —2x, （x、y 为正整数），所以〔5-240.
5
即0VxV 2 . 所以当x=l时，y = 3，当x = 2时，y=l.
尤=1, x = 2,
< <
即方程2x+y = 5的正整数解是» = &或» = 1•（只要写出其中的一组即可）
6
（2）同样，若x-2为自然数，则有OVx —2W6，即2<x<8的自然数，当x
6 6 6
=3 时，x —2=6；当x = 4 时，》一2=3；当x = 5 时，工一2=2；当x = 8 时，6
x-2 =1.即满足条件的x的值4个.故应选C.
（3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支.则根据题意，得
35-3/n 3
3m+5n = 35，其中m、n均为自然数.于是有口= 5 =7—此时有
m>0, =3 35 3 3
1 5 所以o〈mV 3 .由于n = 7—5m为正整数，贝为正整数，可知m 为5的倍数，所以当m=5时，n = 4，当m=10时，n=l,
所以有2种购买方案.即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支.
教师心理说明：本题是一道典型的集方程与不等式，实际应用以及方案设计问题。
五、渗透型阅读理解
阅读理解型问题是中考的一个重要考点，但涉及高中知识的中考题各地中考试卷中更是频繁出现，值得重视.
例5 (巴中市)先阅读下列材料，然后解答问题：
从A, B, C三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元
3x2
素中选取2个元素组合，记作C-3 = 2x1 =3.
m(m -1) • • • (m - n +1)
一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作：C” = 〃(〃-I)・・・x3x2xl .
7x6x5x4x3
例：从7个元素中选5个元素，共有07=5x4x3x2x1=21种不同的选法.
问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有种.
分析：这是高中数学中学的组合问题，出现在中考试卷中却并没有超纲的感觉. 求解时只要通过阅读题设条件中提供的解题方法即可简捷解答.
10x9x8 解通过阅读可知从10人中选取3人参加活动，不同的选法共有Uo= 3x2x1
= 120 种.
说明：看似好难的样子，但只要你认真地阅读题目，通过模仿其运算，实质是很容易求解的，这也是这类知识渗透型试题的一个特点，同学们在具体答题不必害怕，要有战胜困难的勇气和信心.
六、探究型阅读理解
探究型阅读理解通常是对材料信息的加工提练和运用，对规律的归纳和发现能反映出一个人的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力.这类试题意在检测解题者的数学化能力以及驾驭数学的创新意识和才能.解题的时候，你只要根据题目所提供的探究步骤一步步解题即可。
例6 (衢州市)请阅读下列材料：
问题：如图1①，一高为5dm圆柱的底面半径为5dm, BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC.如图
1②所示：
C沿AB剪开
摊平------------ 较两个正数的大小，有时用它
A ②们的平方来比较更方便哦！
图] 顼一, .
如何用照片做抖音视频设路线L的长度为Li，则L：=AC2=AB2+BC2=52+(5兀)2=25+垢尸
路线2：高线AB+底面直径BC.如图①所示：设路线2的长度为L，则1U= (AB+BC)2 = (5+10)2 = 225.
因为1(—122 = 25+25 n —225 = 25 n」200 = 25( n 2—8) >0，所以所以
li>l2. 所以要选择路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1血,
高AB为5dm”，继续按前面的路线进行计算。请你帮小明完成下面的计算：路线1：1：=AC2= ________________________ ；路线2：则1U=(AB+BCT= ________ .
因为_________ 122，所以£_________ L (填>或<). 心赢
所以应选择路线(填1或2)较短. 芙好
(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时, 应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
分析：对于(1)我们可以直接通过阅读，模仿条件中的求解形式解答.(2)可以仿照(1)，并分情况讨论求解.
解(1) 1!2=AC2=AB2+BC2=52+ Ji 2=25+ n 2, 11= (AB+BC) 2= (5+2)2=49.
9 9 O 9 9
因为li2—12 =25+兀一49=兀一24V0，所以li VI2 ，所以
所以要选择路线1较短.
9 9 9 9 99 9 9
(2) li =AC =AB +BC =h + (兀r) , I2 = (AB+BC) = (h+2r)
222 2 2 2 9
因为1「一12 =h~+( N r) — (h+2r) =r (兀r~—4r—4h) =r[( n ~—4)r—4h],
4/z 4h 4h
当r=^—4 时，当尸〉—4 时，I12>I22，当r< n1 -4 时，
说明求解路径最短问题，实际上就是确定两点之间的最短距离，即运用两点之间线段最短.
七、新知识能力型阅读理解题
命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查解题者自学能力和阅读理解能力，能考查解题者接收、加工和利用信息的能力. 解阅读新知识，应用新知识的阅
读理解题时，首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用
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