广东省2010年普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设函数()y f x =的定义域为(,)-∞+∞，则函数1
[()()]2
y f x f x =--在其定义域上是（）
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．周期函数
D ．有界函数
2．0x =是函数1,0
()0,0
x e x f x x ⎧⎪<=⎨≥⎪⎩的（
）
A ．连续点
B ．第一类可去间断点
C ．第一类跳跃间断点
D ．第二类间断点
3．当0x →时，下列无穷小量中，与x 等价的是（）
A ．1cos x
-B ．211
x +-C ．2
ln(1)x x ++D ．2
1
x e -4．若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则下列结论中正确的是（）
A ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=
B ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0
f ξ'=C ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ-'=-D ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()
b a
f x dx f b a ξ=-⎰
5．设22(,)f x y xy x y xy +=+-，则
(,)
f x y y
∂∂=（
）
A ．2y x
-B ．-1
C ．2x y
-D ．-3
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6．设a ，b 为常数，若2
lim(
)21
x ax bx x →∞+=+，则a b +=.
7．圆²²x y x y =+＋在0,0()点处的切线方程是.
8．由曲线1
y x
=
是和直线1x =，2x =及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所构成的几何体的体积V =
.
9．微分方程5140y y y '--'='的通解是y =.
10．设平面区域22{(,
)|1}D x y x y =+≤D={x ，y ）x ²+y'≤1}，则二重积分
222()D
x y d σ+=
⎰⎰
.
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．计算2
2
ln sin lim
(2)x x
x ππ→
-.
12．设函数2
2sin sin 2,0
()0,
0x x x f x x
x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，用导数定义计算(0)f '.13．已知点1,1()是曲线1
2x
y ae bx =+的拐点，求常数a ，b 的值.
14．计算不定积分
cos 1cos x
dx x -⎰.
15．计算不定积分
ln 5
1x e dx -⎰
.
16．求微分方程
sin dy y
x dx x
+=的通解.17．已知隐函数(,)z f x y =由方程231x xy z -+=所确定，求
z x ∂∂和z y
∂∂.18．计算二重积分2D
xydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线²1y x =+和直线2y x =及0x =围
成的区域.
四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.求函数0
Φ()(1)x
x t t dt =
-⎰的单调增减区间和极值。
20.已知2(1)x
x
+是函数()f x 在区间(0,)+∞内的一个原函数，①求()f x 表达式；②计算
1
(2)f x dx ∞+⎰
.
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《高等数学》试题答案及评分参考
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．B
2．A
有关龙的成语3．C
4．D
5．D
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．0
7．0x y +=8．
2
π9．2712x
x
y C e
C e -=+10．
3
π三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．解：原式2
cot lim
4(2)
x x x ππ→
=--22
csc 1lim 88x x π→
==-.
12．解：2Δ0
Δ02
Δsin
sin 2Δ(Δ)(0)
Δ(0)lim
lim ΔΔx x x x f x f x f x
x
→→+-=='Δ0
Δ02sin 2Δsin 2Δlim(Δsin
0lim
ΔΔΔx x x x x x x x
→→=+=+Δ0sin 2Δ2lim
22Δx x
x
→==.
13．解：有题意知1
ae b +=①
又因为1
1123422,
2x x
x a a a y e bx y e e b
x x x
=-+=+'+''所以，有题意知22320ae ae b ae b ++=+=②
由①和②解得2
,3a b e
=-
=.14．解一：原式2
22cos (1cos )cos cot sin sin x x x dx dx xdx
x x +=
=+⎰⎰⎰
2
21sin (csc 1)sin d x x dx x
=+-⎰⎰1
cot sin x x C x
=-
--+.解二：原式2
2
1sin 22sin 2
x dx x -=
⎰
221csc csc ()22
22x x x dx dx d dx =凌波城加点
-=-⎰⎰⎰⎰cot 2
x
x C =--+.
151x
e t -=，则2
2止咳最快的水果
2ln(1),
1t
x t dx dt t =+=
+所以
侠盗列车罪恶都市秘籍3
ln103
3322ln5
222212211x
t dt e dx dt dt t t -==-++⎰
⎰⎰⎰22(arctan 3arctan 2)=--.
16．解：1
1(sin )
dx dx x
好店铺x
y e xe
dx C -⎰⎰=⎰+ln ln (sin )
x x e xe dx C -=⎰+1
(cos cos )x x xdx C x
=
-+⎰+sin cos x C
x x x
=-+
+.17．解：设223(,
,)1F x y z x xy z =-+-，则
122
,2,ln 3z z x y z F zx y F xy F x x z -'''=-=-=+所以212222,ln 3ln 3z y x z z z F F z y zx z
xy x
爱的表白词F x x z y F x x z ∂∂∂∂-''-=-==-=''++.
18．解：画出积分区域D
解方程组21
2y x y x
=+=⎧⎨⎩，可求得切点为(1,2)
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