广东省2010~2020年专插本考试《高等数学》真题及答案
广东省2010年普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.设函数()y f x =的定义域为(,)-∞+∞,则函数1
[()()]2
y f x f x =--在其定义域上是()
A .偶函数
B .奇函数
C .周期函数
D .有界函数
2.0x =是函数1,0
()0,0
x e x f x x ⎧⎪<=⎨≥⎪⎩的(
A .连续点
B .第一类可去间断点
C .第一类跳跃间断点
D .第二类间断点
3.当0x →时,下列无穷小量中,与x 等价的是()
A .1cos x
-B .211
x +-C .2
ln(1)x x ++D .2
1
x e -4.若函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则下列结论中正确的是()
A .在区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ=
B .在区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0
f ξ'=C .在区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()f b f a f b a ξ-'=-D .在区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()()()
b a
f x dx f b a ξ=-⎰
5.设22(,)f x y xy x y xy +=+-,则
(,)
f x y y
∂∂=(
A .2y x
-B .-1
C .2x y
-D .-3
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
6.设a ,b 为常数,若2
lim(
)21
x ax bx x →∞+=+,则a b +=.
7.圆²²x y x y =++在0,0()点处的切线方程是.
8.由曲线1
y x
=
是和直线1x =,2x =及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所构成的几何体的体积V =
.
9.微分方程5140y y y '--'='的通解是y =.
10.设平面区域22{(,
)|1}D x y x y =+≤D={x ,y )x ²+y'≤1},则二重积分
222()D
x y d σ+=
⎰⎰
.
三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)11.计算2
2
ln sin lim
(2)x x
x ππ→
-.
12.设函数2
2sin sin 2,0
()0,
0x x x f x x
x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩,用导数定义计算(0)f '.13.已知点1,1()是曲线1
2x
y ae bx =+的拐点,求常数a ,b 的值.
14.计算不定积分
cos 1cos x
dx x -⎰.
15.计算不定积分
ln 5
1x e dx -⎰
.
16.求微分方程
sin dy y
x dx x
+=的通解.17.已知隐函数(,)z f x y =由方程231x xy z -+=所确定,求
z x ∂∂和z y
∂∂.18.计算二重积分2D
xydxdy ⎰⎰,其中D 是由抛物线²1y x =+和直线2y x =及0x =围
成的区域.
四、综合题(本大题共2小题,第19小题10分,第20小题12分,共22分)19.求函数0
Φ()(1)x
x t t dt =
-⎰的单调增减区间和极值。
20.已知2(1)x
x
+是函数()f x 在区间(0,)+∞内的一个原函数,①求()f x 表达式;②计算
1
(2)f x dx ∞+⎰
.
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《高等数学》试题答案及评分参考
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.B
2.A
有关龙的成语3.C
4.D
5.D
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)6.0
7.0x y +=8.
2
π9.2712x
x
y C e
C e -=+10.
3
π三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)11.解:原式2
cot lim
4(2)
x x x ππ→
=--22
csc 1lim 88x x π→
==-.
12.解:2Δ0
Δ02
Δsin
sin 2Δ(Δ)(0)
Δ(0)lim
lim ΔΔx x x x f x f x f x
x
→→+-=='Δ0
Δ02sin 2Δsin 2Δlim(Δsin
0lim
ΔΔΔx x x x x x x x
→→=+=+Δ0sin 2Δ2lim
22Δx x
x
→==.
13.解:有题意知1
ae b +=①
又因为1
1123422,
2x x
x a a a y e bx y e e b
x x x
=-+=+'+''所以,有题意知22320ae ae b ae b ++=+=②
由①和②解得2
,3a b e
=-
=.14.解一:原式2
22cos (1cos )cos cot sin sin x x x dx dx xdx
x x +=
=+⎰⎰⎰
2
21sin (csc 1)sin d x x dx x
=+-⎰⎰1
cot sin x x C x
=-
--+.解二:原式2
2
1sin 22sin 2
x dx x -=
221csc csc ()22
22x x x dx dx d dx =凌波城加点
-=-⎰⎰⎰⎰cot 2
x
x C =--+.
151x
e t -=,则2
2止咳最快的水果
2ln(1),
1t
x t dx dt t =+=
+所以
侠盗列车罪恶都市秘籍
3
ln103
3322ln5
222212211x
t dt e dx dt dt t t -==-++⎰
⎰⎰⎰22(arctan 3arctan 2)=--.
16.解:1
1(sin )
dx dx x
好店铺
x
y e xe
dx C -⎰⎰=⎰+ln ln (sin )
x x e xe dx C -=⎰+1
(cos cos )x x xdx C x
=
-+⎰+sin cos x C
x x x
=-+
+.17.解:设223(,
,)1F x y z x xy z =-+-,则
122
,2,ln 3z z x y z F zx y F xy F x x z -'''=-=-=+所以212222,ln 3ln 3z y x z z z F F z y zx z
xy x
爱的表白词
F x x z y F x x z ∂∂∂∂-''-=-==-=''++.
18.解:画出积分区域D
解方程组21
2y x y x
=+=⎧⎨⎩,可求得切点为(1,2)

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