2022年广东 高考数学真题及详解
2022广东省高考数学试卷及答案解析2022年普通高等学校招生全国统一考试
新高考数学I 卷
数学
本试卷共4页,22小题,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目制定区域内相应位置上,如需改动,先划掉原来答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。1.设集合{
}
4<x x M =,{}13N ≥=x x ,则N M ⋂=(
A.{}
2
0<x x ≤  B.⎭⎬⎫
⎩⎨⎧≤231<x x
C.{}
16
3<x x ≤  D.⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤1631<x x
2.已知()11=-z i ,则=+z z
A.2
-  B.1
-  C.1
D.2
3.在ABC ∆中,点D 在边AB 上,DA BD 2=.记m A C  =,n D C  =,则=
B C
A.n m  23-
B.n m  32+-
C.n m  23+
D.n
m  32+4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时,相应水面的面积为140.0km ²;水位为海拔157.5m 时,相应水面的面积为180.0km ².将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时,增加的水量约为
(
)
65
.27≈A.3
9
100.1m
⨯  B.3
9102.1m
⨯  C.3
9
104.1m ⨯  D.3
9106.1m
青岛旅游景点图片⨯5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(
A.
6
1  B.
3
1  C.
2
1  D.
3
2
6.记函数()()04sin >ωπωb x x f +⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
=的最小正周期为T .若ππ
22
3<<T ,且()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛223,π中心对称,则=⎪⎭
⎝⎛2πf ()
A.1
B.
2
3  C.
2
5  D.3
7.设1
.
01.0e
a =,9
1
=
b ,9.0ln -=
c ,则A.c b a <<  B.a b c <<  C.b a c <<  D.b
c a <<8.已知正四棱锥的侧棱长为l ,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为π36,且
333≤≤l ,则该正四棱锥体积的取值范围是(
A.⎥
⎤⎢⎣
⎡4
8118,  B.⎥⎦
⎣⎡481427,  C.⎥⎦
⎣⎡364427,  D.[]
27,18二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求。全部答对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.已知正方体1111D C B A ABCD -,则()
A.直线1BC 与1DA 所成的角为90°
B.直线1BC 与1CA 所成的角为90°
C.直线1BC 与平面11DD BB 所成的角为45°
D.直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45°10.已知函数()13
+-=x x x f ,则(
A.()x f 有两个极值点
B.()x f 有三个零点
C.点()1,0是曲线()x f y =的对称中心
D.直线x y 2=是曲线()x f y =的切线
11.已知O 为坐标原点,点()11,A 在抛物线()02:2
>p py x C =上,过点()10-,B 的直线交
C 于P ,Q 两点,则(
A.C 的准线为1-=y
B.直线AB 与C 相切
C.2
OA
OQ OP >⋅  D.2
BA
BQ BP >⋅
12.已知函数()x f 及其导数()x f '的定义域为R ,记()()x f x g '=,若⎪⎭
⎝⎛-x f 223,()x g +2均为偶函数,则()A.()0
=x f    B.021=⎪⎭
⎝⎛-
g    C.()()41f f =-  D.()()
21g g =-三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.()81y x x y +⎪⎭
⎫ ⎝
-
的展开式中6
2y x 的系数为(用数字作答).
14.写出与圆12
2
=+y x 和()()16432
2
=-+-y x 都相切的一条直线的方程.15.若曲线()x
e a x y +=有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围是
.
16.已知椭圆()01:22
22>>b a b
y a x C =+,C 的上顶点为A ,两个焦点为1F ,2F ,离心率
为2
1
.过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ,E 两点,6=DE ,则ADE ∆的周长是
.
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知11=a ,⎭
⎫⎩⎨
⎧n n a S 是公差为31
的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:
21
1121<n
a a a +++ .18.(12分)记ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为c
b a ,,,
已知B
B
A A 2cos 12sin sin 1cos +=
+.(1)若32π=C ,求B ;(2)求2
22c
b a +的最小值.19.(12分)如图,直三棱柱111-C B A ABC 的体积为4,,BC A 1∆的面积为22.(1)求A 到平面BC A 1的距离;
(2)设D 为C A 1的中点,AB AA =1,平面
111A ABB BC A 平面⊥,求二面角C BD A --的正弦值.
20.(12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人中随机调查了100人(称为对造组),得到如下数据:
不够良好
良好病例组4060对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病体与未患该疾病体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件
“选到的人患有该疾病”.()
()A B P A B P 与()()
A B P A
B P 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程
度的一项度量指标,记该指标为R .
(i )证明:R =()()()()
B
A P B
A P
B A P B A P ⋅
.(ii )利用该调查数据,给出()
B A P ,()
B A P 的估计值,并利用(i )的结果给出R 的估计值.
附()()()()()
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2
2
.
(
)
k K P ≥2
0.0500.0100.001k
3.841
6.635
10.828
21.(12分)已知()1,2A 在双曲线()111
:2
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22>a a y a x C =--上,直线l 交C 交于P ,Q 两点,直线AP ,AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;
(2)若22tan =∠P AQ ,求P AQ ∆的面积.
22.(12分)已知函数()ax e x f x
-=和()x ax x g ln -=有相同的最小值.
(1)求a ;
(2)证明:存在直线b y =,其与两条曲线()x f y =和()x g y =共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
2022普通高等学校招生全国统一考试
新高考数学I 卷参考答案
一、选择题
1.D 解析:{}
160<x x M ≤=,⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧≥
=31N x x 2.D 解析:由题设有i i
z -==
-1
1故i z +=1,故()()211=-++=+i i z z .3.B
解析:点D 在边AB 上,DA BD 2=,∴DA BD 2=,即()
CD CA CB CD -=-2,
∴m n CA CD CB
2323-=-=.4.C
解析:依题意可知棱台的高为()m h 95.1485.157=-=,所以增加的水量即为棱台的体积V .棱台上底面积2
6
现烤面包2
101400.140m km S ⨯==,下底面积2
6
2
101800.180m
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km S ⨯=='∴()()
()761065.218961076032033
1
⨯⨯+≈⨯+⨯='+'+=
S S S S h V 9
9104.110437.1⨯≈⨯=5.D
解析:从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有212
7=C 种不同的取法,若
两数不互质,不同的取法有:(2,4)(2,6)(2,8)(3,6)(4,6)(4,8)(6,8),共7种,故所求概率3
2
21721=-=P .6.A
解析:由函数的最小正周期满足
ππ223<<T ,得πω
π
π2223<<,解得32<<ω,又因为函数的图象关于点⎪⎭
⎝⎛223,π中心对称,∴Z k k ∈=+,423ππωπ,且2=b ,∴
Z k k ∈+-=,3261ω,∴25=ω,()242
5
sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ,
取保候审的条件
∴()1244
5
sin =+⎪⎭
⎝⎛+=ππx f 7.C
解析:设()()()11ln --+=>x x x x f ,∵()x
央视春晚微博
x x x f +-=-+=
'1111当()0,1-∈x 时,()0>x f ';当()∞+∈,0x 时,()0
<x f '

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