2015年全国高考数学_江苏卷_考试说明解读及复习建议
２０１５年全国高考数学（江苏卷）考试说明解读及复习建议
黄桂君　（江苏省高邮中学　２２５６００）
１　命题思想与知识考查层次要求
２０１５年数学高考的命题指导思想仍然为：（１）突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查；（２）重视数学基本能力和综合能力的考查；（３）注重数学的应用意识和创新意识的考查．这是我们必须坚持的复习指南．
考试内容及要求：对知识的考查要求依次分为了解／Ａ、理解／Ｂ、掌握／Ｃ三个层次．必做题部分Ａ级考点２５个，Ｂ级考点３８个（函数与方程、互斥事件及其发生的概率由Ａ级提高到Ｂ级），Ｃ级考点８个．附加题部分Ａ级考点（选修共计）１１个，Ｂ级考点（选修共计）３６个，无Ｃ级要求．函数与方程的思想是中学数学里非常重要的一种思想方法，对这方面内容的考查可以区分出学生的能力，加强这方面内容的考查是必要的；互斥事件及其发生的概率这部分内容在现实生活中有广泛应用，对大部分学生的后继学习也有一定影响，因此把这两部分内容的考查从Ａ级变为Ｂ级考点很正常，事实上已经这样考查了！
考试形式及试卷结构：试题难易比例，１２０分钟考查的必修内容的容易题、中等题和难题所占
分值的比例大致为４∶４∶２；３０分钟考查的附加题内容则为５∶４∶１．这是我们平时命题、出练习卷参考的依据，而实际的情况是平时的练习题、考试题偏难．
总体上本次考试说明充分保持了连续性、稳定性．
２　典型题示例的变化
·填空题
填空题１４道：保留了原（１）复数、（２）集合、（３）流程图、（４）函数的定义域、（５）频率分布直方图、（８）求体积（现顺序为（９），原称其为容易题而现称为中等题）、（９）求导切线问题（现顺序为（１０））、（１１）直线与圆存在交点题（现顺序为（１２））、（１３）恒成立问题、（１４）不等式求范围问题．更换了（６）古典概率（容易题）、（７）换了２０１４（５）三角函数求初相φ的值（原中等题变成容易题）、（８）换了２０１４（７）简单的等比数列求项题（把原等差数列中等题变成了容易题）、（１２）把原（７）向量容易题换成了２０１４（１２）平行四边形中向量数量积的中等题．
注　前８题为容易题，９—１２为中等题，
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
檪檪檪
最后
逐步完善，终于拿出了一个可行的方案．虽然这个方案需要连续两次使用正弦定理，还要用到两角差的正弦公式和同角关系式，感觉运算量较大，不过显然问题已经可以解决了．更为可贵的是这一过程强化了学生的减元意识，复习了三角函数中的主要知识，提升了学生分析问题、解决问题的能力，很好地体现了“数学育人”的价值，放大了教学功效．
３．３　提高对公式定理教学的认识
从公式探究过程中的育人价值［３］看，定理公式课的教学更应突出定理公式的发现、探索和证明的过程．本课中教师乙在公式定理的探究过程中舍得花时间，引导学生从特殊到一般，各自拿出不同的解决方案并进行操作实施，进行了充分的探究、比较，而不是直接告知，在定理公式的发现、探索和证明的过程中训练了学生思维、提升学生能力，较好地发挥了定理公式课的育人价值．
参考文献
［１］　章建跃．构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［Ｊ］．数学通报，２０１３（６）：５－８．
［２］　章建跃，陶维林．概念数学必须体现概念的形成过程［Ｊ］．数学通报，２０１０（１）：２５－３３．
［３］　渠东剑．把握概念教学过程中的育人契机———以随机变量及其概率分布为例［Ｊ］．中学数学教学参考
（上旬），２０１３（５）：６－９．
两题为难题．令人关注的是最后两个难题都较大，调整更换后的１１—１２中等题也有一定难度，这表明将延续近两年来的命题风格（如容易题、中等题朴实平和，题目多源于课本等），预测２０１５年填空题难度大于或等于２０１４年．
·解答题
第１５题保留，为三角形中的三角变换求值等问题，属容易题．第１６题没有变，仍为２０１２年的立体几何题（１６），证明一个面面垂直，证明一个线面平行，也属容易题．第１７题（原１８题）为２０１１年的解几题（１８），考查直线与椭圆的问题，需要解方程（组），字母运算量较大，属中等题（实际难度中等偏上）．第１８题为２０１４年（１８）应用题：圆形保护区规划问题（原应用题是２０１１（１７）包装盒的侧面积、容积的问题），属中等题，这是第二次给出应用题典型题
示例．第１９题保留（２０１１（１９）函数题），考查了函数与导数的问题，属创新题、难题（如果结合函数图形，则易理解和书写）．第２０题保留（２０１１（２０）数列题），以等差、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力，属难题．注　解答题中６道题保留了５道，仅换了应用题（难度比上一年大）；解几题和后两题本来就难．由此看会保持２０１４年解答题的稳定性并继承适度的创新，难度不会降低．
·附加题
仍为６道，必做题（１—４）四选二没有变化（顺带说一句，总感觉选几何证明选讲和不等式选讲较容易些）．第５题保留空间立体几何题（已知二面角的大小或三角函数值分别求两条线段的长）．把第６题随机变量概率分布、期望题更换为２０１４（２３），这是考试说明有史以来第一次给出附加题最后一道难题的典型题示例，但还是难以备考．预计附加题难易程度会与２０１４年相当．
就考试说明中示例的典型题的难度考虑，预计２０１５年数学全卷总体上不会比去年容易．
３　复习建议与需要关注的几个问题
３．１　夯实基础
不仅仅要在高一、高二的新授课教学中打牢基础，在高三无论是一轮基础复习还是二轮专题复习教学
中，同样要扎扎实实打牢基础，多加强基础知识的复习、练习，因为每年高考试题中基础题
的比例都是比较大的．说起来容易，但就是在实际操作中做不到或做不到位．我们的教学案、练习题总是偏难，这消耗了师生课上课外很多时间．关于打基础，要更多更好地利用课本中重要的典型例题、练习题、复习题、本章测试题等（是不少高考题的来源），还有近几年高考试题（含全国和各省市）中的容易题、中等题、少部分优秀的难题．不要忽视基础的东西匆匆而过，却花大量的精力和时间讲、做那些较难的习题，如填空题最后两题、最后两道解答题的（２）（３）问等（有时讲了、做了也掌握不了，考试还是不会）．事实上，如果能将一份试卷中基础、中等的题目做对大多数，分数就不会差．
比如容易题立几的备考，高考近几年考查的几乎都是证明一个平行和一个垂直．我们在复习中可稍拓展一些：如一证一算（求体积、面积、长度等）或一证一探（探究是否存在一点使线面平行或垂直等等），有备无患．
例１　在长方体ＡＢＣＤ－Ａ
１Ｂ１Ｃ１Ｄ１
中，Ｅ是ＢＣ的中点，求证ＢＤ１∥平面ＤＥＣ１．
没抵押怎样贷款
　图１
思路１　ＢＤ
１∥
ＯＥ（Ｏ＝ＤＣ１∩ＣＤ１）．
思路２　ＢＤ
１∥
ＤＧ（Ｇ＝Ｂ１Ｂ∩Ｃ１Ｅ）．
思路３　ＢＤ
１∥
Ｃ１Ｈ（Ｈ＝ＡＢ∩ＤＥ）．
思路４　（教师先要求学生判断平面ＤＥＣ
１
与平面ＢＥ１Ｄ１的位置关系，其中Ｅ１为Ｂ１Ｃ１的中点．）可转化为证面面平行．
思路５　向量法、坐标法．
雅安祈福
变式１　Ｆ是ＣＣ
１
的中点，问是否存在一点Ｅ∈ＢＣ，使ＢＤ１∥平面ＤＥＦ？说明理由．
变式２　Ｈ是ＢＤ上的点，平面ＣＤ
领结婚证的程序１Ｈ⊥
平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ，求证：ＣＨ⊥ＢＤ．
变式３　求Ｖ
Ｃ－Ｃ１ＤＥ
或Ｃ点到平面ＣＤ１Ｅ的距离．
再如容易题三角函数的备考，江苏省可能是出于阅卷方便，三角函数的图象与性质一般放填空题中考，解答题中较少见．事实上，如果考查画出ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋ｈ在某一个周期内的图象，估计得分不会理想．不少学生不会通过五点法
先画出一个周期内的图象，然后再根据要求割补、平移完成．我们复习时可在这些地方进行拓展练习，而不是搞一些繁且难的问题．
３．２　提炼方法
平时的练习要引导学生反思着解题，不要只顾着闷头一条一条往下做，赶数量而忽视质量，要多回想、不断提炼总结，教师更要帮助学生不断提炼总结．“题海战术”、“大运动量的重复训练”效率低．几乎每年都会遇到似曾相识的高考题，解法也很常规，但为什么组装起来很多考生感觉就不平常了呢？这值得我们深思．要训练通性通法，不要搞华而不实的解题技巧，形而上学的精讲精练．关于方法的提炼：引导学生多练习、总结那些最基本的、常规的方法，掌握通性通法．比如函数难题的备考，在求解思考过程中除了熟知的基本函数不谈，若是没有见过的函数，则可根据已知条件通过函数的性质（主要是单调性）挖掘勾勒出函数的大致图象，有时很容易就此破题，走向成功．如江苏２００８～２００９，２０１１～２０１３年五年间无一例外！（不过２０１３年被扣了不少分，引发争议，这
里不敷．）
例２　已知ｆ（ｘ）＝ｘｌｎ　ｘ，ｇ（ｘ）＝－ｘ２＋ａｘ－３．（１）求函数ｆ′（ｘ）在［１，ｅ］上的最小值；
（２）对一切ｘ∈（０，＋∞），２ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）恒成立，求实数ａ的取值范围；
（３）证明：对一切ｘ∈（０，＋∞），都有ｌｎ　ｘ＞
１ｅｘ－
２
ｅｘ
成立．（这里仅讨论（３））
思路１　记Ｆ（ｘ）＝ｌｎ　ｘ－１
ｅｘ
－
２
ｅｘ
（ｘ＞０），
证明Ｆ（ｘ）ｍｉｎ＞０（不成功）．
思路２　证明ｌｎ　ｘ＞常数＞１
ｅｘ－
２
ｅｘ
（即
（ｌｎ　ｘ）
ｍｉｎ＞
１
ｅｘ
－
２
ｅ
（）ｘｍａｘ或（ｌｎ　ｘ）ｍｉｎ≥
１ｅｘ－
２ｅ
（）ｘｍａｘ，但等号取不到！也行不通）．思路３　通常要先变形再证明．怎么变形？移项（怎么移？往哪边移？）还是两边同乘以ｘ或ｅｘ等呢？太没有把握了．这时要冷静地思考一下，再联系题设条件或前面的（１）（２）问，自然考虑两
边同乘以ｘ试试：（ｘｌｎ　ｘ）ｍｉｎ≥－１
ｅ≥
ｘ
ｅｘ
－
２
（）ｅｍａｘ，但等号取不到（左边ｘ＝１ｅ，右边
ｘ＝１时取得）．
要积累微经验：如可以让学生练习画函数ｆ（ｘ）＝
ｌｎ　ｘ
ｘ
，ｆ（ｘ）＝ｘｌｎ　ｘ，ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎ　ｘ，ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｘ的大致图象．还有，注意函数求导
后看看能否分解因式，或能否观察出一个零点
１，ｅ，１
ｅ
（）等，或再求导等．
３．３　训练能力
随着考查能力题的增多，考题越来越灵活，体现了“学数学、用数学”的学以致用的基本理念．
我们要加强数学思维能力的训练，重视数学思想
方法的灵活运用，注意拓宽学生的知识面．
关于数学素养的培养：“套路以外的悟性！”
这是个非常大的课题，要求很高！既不是所有教师
都能做得到的（我们自身还缺少这方面的素养），
也不是每个学生都能被培养出来的．我们只能加
强自身学习，与学生一起不断训练和提高，在研究
数学问题的过程中培养创新意识、实践能力（应用
意识）和良好的个性心理品质．
加强运算能力的训练和培养．运算要有三心：细心、恒心、慧心．速度快、正确率高，一步算准．在
过生日的祝福语运算速度和正确率的训练上下功夫．所谓“成也运
算，败也运算”，如近几年的解析几何题中的字母
演算等．
变式训练不能变味、要变而有味．多题一解（通性通法）比一题多解更有效！要引导学生思考
着解题，教师必须首先要思考；自己在工作上不思
考，估计你的学生这方面也不会好到哪里去．比如
中等题解几的备考，就必须让学生有解方程（组）
运算的心理准备．事实上，这是学生比较薄弱的
地方，需要加强训练．下面摘录一段笔者２０１４年
１０月在宝应中学上的一节教学视导指导课的
实情．
例３　求经过点Ｐ　１，槡２
（）２和Ｑ－槡２２，槡３
（）２的椭圆的标准方程．（课本题）
思路１　分情况讨论．
思路２　回避讨论，设ｍｘ２＋ｎｙ２＝１（ｍ＞０，ｎ＞０，ｍ≠ｎ）．
两种思路都是最基本的方法！（学生开始没有想到思路２
）
变式　（２０１２江苏高考１９解几题（１））已知Ｐ（１，
ｅ）和Ｑ－ｅ，槡３（）母亲节送什么礼物最好
２是焦点在ｘ轴上的椭圆上的点，ｅ为椭圆的离心率，
求椭圆的标准方程．结果绝大多数学生将两点的坐标代入ｍｘ２＋
ｎｙ２
＝１
（ｍ＞０，ｎ＞０，ｍ≠ｎ），不能自拔．这是机械地套用公式，没有具体问题具体分析，结果造
成运算速度慢正确率低．
例４　（２０１４江苏高考１７解几题）
如图２，Ｆ１，Ｆ２分别是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ
２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左右焦点，顶点Ｂ的坐标是（０，ｂ），连结ＢＦ２并延长交椭圆于点Ａ，过点Ａ作ｘ轴的垂线交椭圆于另一点Ｃ，连结Ｆ１
Ｃ．　图２
（１
）（作为练习，解简单方程，结果同上一样．
）（２）若Ｆ１
Ｃ⊥ＡＢ，求椭圆离心率ｅ的值．
（关键是通过解方程
组ｘｃ＋ｙｂ
＝１，
ｘ２
ａ２＋ｙ２
ｂ２＝１烅烄烆
，求出Ａ点的坐标．）
思路１　ｙ＝ｂｃ
（ｃ－ｘ）代入ｂ２　ｘ２＋ａ２　ｙ２
＝
ａ２ｂ２，得ａ２＋ｃ２ｃ２ｘ２
－２ａ２ｃｘ＝０，ｘＡ＝２ａ２
ｃａ２＋ｃ
２．思路２　ｘ＝ｃｂ（ｂ－ｙ）代入ｂ２　ｘ２＋ａ２　ｙ２
＝
ａ２ｂ２，得（ａ２＋ｃ２）ｙ２－２ｂｃ２　
ｙ＋ｂ２（ｃ２－ａ２）＝０，ｂｙＡ＝ｂ２（ｃ２－ａ２
）
ａ２＋ｃ
２
．思路３　（类比２０１０年江苏１８（３
）命题组给的解法）　ｘ＝ｃｂ（ｂ－ｙ），ｘ２ａ２＝１－ｙ２
ｂ
２，ｃ２
ａ２ｂ２（ｂ－ｙ）２＝（ｂ＋ｙ）（ｂ－ｙ）ｂ
２
．因为ｙ≠ｂ，所以ｃ２
ａ２（ｂ－ｙ）＝ｂ＋ｙ，得ｙ＝ｂ（ｃ２－ａ２
）
ａ２＋ｃ
２
．  注　解析几何的精髓是用代数手段研究几何问题，因而一定的解题运算量是必不可少的，是其一个特（当然还有分析探究及推理论证等）．
辣椒炒鸡蛋可以看出，２０１４年高考题１７（１）是２０１２年１９（１）的改编，都是通过解方程（组）求椭圆的方程（结果都一样）；２０１４年１７（２）与２００９年１３题类似，也都是由解方程（组）（求顶点与顶点或顶点与焦点连线的交点坐标等）求椭圆的离心率ｅ的改编．２００９年以来（除２０１３年考查的是直线与圆外），考的都是椭圆，都必须经历解方程（组）的字母演算．
此外关于众多的数学练习题：当下有一点是肯定的，就是教师学生都感觉数学题目太多，各种名目的练习太多，个人预备、梳理的时间太少，反思回味的太少，学习阅读经典的就更少．要多搞一些类似于厨师做的羊席、鱼席等这样的专门菜肴供学生吃、品尝（精细的专题），让学生知道羊肉还能做成这样、这么多的菜，类比联想到这个数学知识点还能编成这样、这么多的考题．我们编制练习、出原
创题，就类似于厨师创新做菜．下次遇到（看到包装、“闻到味道”）就能知道如何动手，说出一点道道．不能吃下去了，都不知道是什么，囫囵吞枣，或吃了好多次才感觉到．
关于教什么与怎么教：事实上，构建高效课堂必须在减轻学生课业负担和课堂教学方法变革上双管齐下．有时候学生的“笨”与教得“不聪明”有直接关系．教什么与怎么教都重要！由于如今教辅资料、习题太多，导致有时教师不是决定要教什么，而是决定不教什么！即所谓的教什么比怎么教更重要．而多数情况下教什么是“规定”了的，如复习“函数的单调性”或评讲一份试卷等等，此时怎么教比教什么重要．一节课要有魂，或要有观点，或有中心、有思想．我们有的复习课太没有味了．至于用什么方法，我认为没有最好，只有哪一种方法更适合你所教的学生．
关于教师的责任：作为高三数学教师，我们要讲良心、负责任、增本领，团结协作，相互支持，要有担当．如果某个学生双语考得都很好，就是数学考得不好或者不达标，那我们是有责任的．工作要尽心、尽责、尽力，用力、用心、用情．

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