第八章 欧氏空间
综述
欧氏空间是通常解析几何里空间的进一步推广，它是在实数域上向量空间里引入"内积"，从而可以合理地定义向量的长度和两个向量的夹角，使空间具有更接近解析几何里的空间.另一方面在空间中引入"内积"的思想给我们开辟了新的研究领域.（实数域上的向量空间v中引入"内积"即为欧氏空间.一般数域上的向量空间v中引入"内积"（不同于欧氏空间中的"内积"不具恒正性）后为"内积空间".复数域上的向量空间v中引入"内积"后为西空间.）比如，对二次型理论的研究，本来它起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类问题，在解析几何中可利用坐标变换讨论它的标准形问题.然而，我们利用空间中引入"内积"，研究任意数域上的二次型将得到丰富的结果.特别地，实二次型在应用上是最重要的一类二次型，对它的一部分理论的讨论恰可在欧氏空间中进行，这可在下章见到.具体地为正定，特别是所谓主轴问题，即用正交变换化标准型问题.（有的书上（如北大）欧氏空间这一节，正是以此问题展开的，本教材单作一节）.
鉴于本教材的安排，从内容上是引入"内积"的概念，给出欧氏空间的定义，平行地同向量空间一样，讨论其结构（其子空间）及其上的线性变换（具有新特点的正交变换、对称变换）.有了前两章的基础知识和基本训练，学习本章应该会感到简单易懂，但必须注意领会研究问题的方法，如：有了"内积"可定义长度、夹角等度量性质，进而可讨论向量的垂直（正交）.在讨论结构中任一子空间有正交补，且正交补唯一；有"标准正交基" ，为讨论问题带来很大方便.讨论欧氏空间
中与"内积"有关的线性变换--正交变换、对称变换（注意对称矩阵的特点），这样也可为下一章作些准备.
本节重点是"内积"的引入及标准正交基的求法，同时求标准正交基也是难点，因其是下章解决主轴问题的关键，且较麻烦不易记忆，所以要突破使学生理解这一方法的理论依据.
8.1 向量的内积
一．教学思考
1．本节给出欧氏空间的定义，讨论其基本性质，是本章教材的出发点，是建立欧氏空间的理论基础，因此必须给予足够的重视.
2．欧氏空间是几何空间的推广，欧氏空间的建立关键是"内积"的引入；因为一般的n 维空间中不能象几何空间那样，可以（首先）直观地定义向量的长度及向量间的夹角等度量方面的概念.为在一般n维空间讨论向量的度量问题，必须寻求别的其它的方法，为此分析几何空间有了向量的度量、夹角等几何直观后，曾讨论了向量的一些其它运算，如"点（内）积"，并且有了"点积"后，反过来可用之表示向量的有关度量概念（如长度、夹角等），这启发我们
在一般n维空间中定义"内积"，然后再定义（讨论）向量的长度、夹角等.
3．如何在一般的n 维空间中定义"内积"呢？由于我们要一般的n维空间中定义的"内积"必须是几何中"内积"概念的推广，所以先分析回顾几何空间中向量的"内积"的本质特性（基本性质）（是的一个映射，具有对称性、线性性及恒正性），所以内积的基本性质必须保持，从而引入一般的"内积"定义.
4．定义有"内积"的实数域上的向量空间就可以进一步定义向量的长度、夹角等度量性质，这自然且合理，只须注意其合理性的基础是有关"内积"的性质，重要的是柯西-施瓦尔兹（或布涅柯夫斯基）不等式，从而引入一般的欧几里得空间或欧氏空间的定义.
5．有了欧氏空间的定义，重要的要引导学生详细总结欧氏空间是一个（2,3,12）代数系，即具有两个集合（实数域、非空集），三种运算（加、数乘、内积）十二条运算性质.向量空间可以带有不同的内积而构成不同的欧氏空间.其中特别要求学生弄清楚三种运算分别是什么元素之间的，以及"内积"的三个基本性质的作用：线性性--线性代数共有的，恒正性--为定义长度的基础.
6．为了便于学生记忆，可将欧氏空间的基础性质作如下整理：设v是一个欧氏空间,α、β、γ∈V,k∈R，有：把"内积"的性质及向量的长度、夹角、距离得到的有关性质总结一起.
二． 内容及要求
1、 内容：内积、欧氏空间、向量的长度、向量间的夹角、距离的概念、性质.
2、 重点：内积、欧氏空间的定义.
3、 要求：掌握上述概念及性质.
三 教学过程
1．概念及性质
复习回顾：为在n维向量空间中讨论向量的度量性质，先回顾一下几何空间中向量的有关度量问题，明确以下三个问题：
① 几何空间中，先从几何直观给出向量的长度及向量间的夹角.
② 向量间的夹角与向量的内积有密切关系：
Ⅰ）由长度夹角定义向量的"内（点）积"：
Ⅱ）反过来：有了"内积"后，可用此表示行来年感的长度与夹角：.
③ 上述关系启发我们可以先定义"内积"，然后利用"内积"定义向量的有关度量问题.
那么如何在n维欧氏空间中引入"内积"概念呢？分析几何空
间中"内积"的形式定义的实质：
Ⅰ）是的一个映射；
Ⅱ）具有四条性质：A）对称性；B） C）线性性；D)恒正性.
而一般"内积"为几何空间的推广，所以具有几何空间"内积"的基本性质，因而可把上述"内积"的本质性质推广至一般向量中去.
（1）定义1 设v是实数域R上一个向量空间，如果对有一个确定的记作的实数与它们对应，且满足下列条件：
对，有
1）= （对称性）
2）
3）= （2、3线性性）
4）
当时,.
则叫做向量与的内积，而叫做对于这个内积来说的一个Euclid空间（简称欧氏空间）.
例1．
规定；
例2．，规定.
可验证上述为"内积"，从而相应的空间为欧氏空间.
5）由例知同一向量空间可引入不同的内积作成不同的欧氏空间.期货是什么
（2）内积的性质
1）对.
2）对
有.
3）在欧氏空间中，对有，当且仅当与线性相关时，才有等号成立.
例3．分析中有二不等式：
1） 对
有 （Cauchy不等式 ）；
2） 对
有 （Schwary不等式）.
2．向量的长度、夹角、距离
（1）向量的长度
定义2 设是欧氏空间中一个向量，非负实数的算术根叫做向量的长度，记为；即=.
性质：由定义易得：
A）.
B）命题：在欧氏空间中,.
（2）向量之间的夹角、正交
在欧氏空间中有重要的不等式，有了向量的长度的概念后，上式可以写为，从而
，故可以合理地定义：
定义3 设间的夹角由下式决定：
即.
定义4 ，若，称与正交.
性质
dnf卢克副本定理8.1.2在欧氏空间中，若向量与向量中每一个正交，则与的任一线性组合也正交.
(3)三角不等式和距离
，由内积性质和向量长度定义
=
因都是非负实数，所以(三角不等式).
定义5：设将称为与间的距离，记为，即
=.
性质 1）,；时.
2）=.
8.2 正交基
一 教学思考
1．讨论欧氏空间，首先也是结构问题，象向量空间一样，是通过欧氏空间本身--基，其子结构--子空间及"同构"的方法来讨论.但由于欧氏空间自身的特点（有"内积"及度量性质），从而这几方面的问题有其新的特点与结果.具体来讲有正交基及标准正交基；有限维子空间有一种特殊的余子空间--正交补,"同构"的内涵多了保"内积".
2．正交基（或标准正交基）的求法的基础是建立在"任一线性无关组可得一正交组（从而得一标准正交组）"之上的，上述证明思想的分析过程可从含两个向量的向量组出发，一般地用归纳法，这样易于接受，从而自然得正交基（标准正交基）的求法.这是本节的难点及重点.施密特正交化公式麻烦.
一年级字谜 3．子空间的正交补是子空间的一类特殊的余子空间，其结论上不同于一般向量空间的有限维子空间的余子空间存在不唯一；而正交补存在且唯一.而求正交补的思想同求余子空间类似，不同的在于选标准正交基.
4．"同构"是代数课题的重要思想方法，欧氏空间的同构，注意多了保"内积"；建立有限维欧氏空间同构的充要条件时，类似于一般向量空间.
二 内容与要求：
1．内容：正交组、正交基及标准正交基、正交补、同构.
2．重点、难点：正交向量组（基）的求
法.
3．要求：掌握上述有关概念及正交基、正交补的求法.
三 教学过程：
1．正交基、标准正交基
（1） 正交向量组
1）定义 设是欧氏空间v中一组非零向量，若其中两两正交，即（i≠j），则称其为v的一个正交向量组（简称正交组）.
2）正交组的性质
A）定理8.2.1设是欧氏空间v的一个正交向量组，那么线性无关.
（2）正交基、标准正交基
1）定义 设v是一个维欧氏空间，若v有n个向量构成正交组，由上知其为v的一个基，这样一个基叫v的一个正交基；若的一个正交基还是一个标准正交组，就称这个基是一个标准正交基.即.
2）标准正交基的性质（或作用）
设是维欧氏空间的一个标准正交基,,；则
A）；
B）；
C）；
D）.
3） 维欧氏空间标准基的存在性及求法
任一维空间总有基，下面想从欧氏空间的一个基出发，它的一个标准正交基，为此先解决一个理论问题.
定理8.2.2设是欧氏空间的一组线性无关的向量，那么可以求出的一个正交组，使得可以由线性表示（）.
这样设，令是的一个基，则由Schmidt正交化方法可得的一个正交基，再单位化即令可得的一个标准正交基，从而解决了n维欧氏空间的正交基（标准正交基）的：
（1）存在性；
（2）求法：第一步：取的一个基；
第二步：Schmidt正交化得正交基；
第三步：单位化得标准正交基.
4）标准正交基之间的关系--标准正交基之间的过渡矩阵的性质
定义3 设，若满足，则称为一个正交矩阵.
定理8.2.6维欧氏空间的一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.
2．正交补空间（正交补）
1）定义
定义1：设是欧氏空间的一个非空子集,，若对都有，则称与正交，且记作.
命题 设是欧氏空间的一个非空子集，令
，则是的一个子空间.
定义2 设是维欧氏空间的一个子空间，则叫做的正交补（空间）.
2）有限维子空间的正交补的性质及求法
（1）性质
定理8.2.4设是欧氏空间的一个有限维子空间，则，从而可以唯一的写成；其中.（证略）
推论 设是维欧氏空间的一个子空间，且，则.
命题 设是欧氏空间的一个有限维子空间，则的正交补由唯一决定.
（2）有限维欧氏空间的子空间的正交补的求法
A）一般方法：设,；
当时,=；当时=；
设，取的一个（标准）正交基，将其扩充为的（标准）正交基，则.
（易证）（例略）
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冷和暖B）特别地：设，为齐次线性方程组的解空间，则.
3．维欧氏空间的同构
1）定义 维欧氏空间与称为同构的，如果：（1
）作为实数域上的向量空间，存在到的一个同构映射；（2）对有.
2）有限维欧氏空间同构的充要条件
定理8.2.7两个有限维欧氏空间和同构的充要条件是.
推论 任意维欧氏空间都与同构.（因而作为维欧氏空间的一个代表）
8.3正交变换
一 教学思考
1．在欧氏空间中讨论线性变换，最主要的是讨论那些与内积有关的线性变换，以后两节即讨论这样两类线性变换.
2．从内容上看本节给出了正交变换的定义及等价叙述（分一般欧空上及有限欧空），以及中正交变换的类型.从中建立了n 维欧氏空间中正交变换与n 阶正交矩阵的一一对应，此二者是同一事物的两种形式，可以相互借助一方讨论另一方，中的正交变换的形式及相应的矩阵的形式.另外n 维欧氏空间的正交变换是v的自同构映射，等结论.本节易理解不麻烦.
3．为更好的认识正交变换，可总结正交矩阵的若干性质.
二 内容与要求
1．内容：正交变换的定义及充要条件，正交变换与正交矩阵的关系，的正交变换.
2．要求：理解、掌握、正交变换定义及性质，正交变换与正交矩阵的关系.深夜模式怎么设置
三 教学过程：
1．定义
定义1 设，若对，都有，则称是一个正交变换.
2．正交变换的等价叙述
由于长度是用内积定义的，自然想到有：（事实上有的书上以此定义的）.
定理8.3.1设，则是正交变换对，都有.
推论 若是正交变换，是与的夹角，是与的夹角，则=.
定理8.3.2设，则是正交变换将标准正交基变为标准正交基.
定理8.3.3设，则是正交变换关于任一标准正交基的矩阵为正交矩阵.
对正交变换的性质作一必要的总结：
为正交矩阵 是正交变换
A）；
B）；
C）的特征根的模为1； 的特征根为1；
D）正交矩阵的积为正交矩阵； 正交变换的积为正交变换；
E）正交； 正交变换可逆且逆正交.
2）结合上述可知：正交变换是n 维欧氏空间的自同构映射.
3）正交变换关于其它基的矩阵不一定为正交矩阵.
4）其它一些结论如：单位变换为正交变换，位似变换一般不是等.
3．欧氏空间的正交变换的类型（略）
8.4对称变换
一 教学思考
1．本节讨论欧氏空间中另一类与内积有关的线性变换--对称变换，从内容上讲是定义、充要条件及可对角化，即类于正交变换的讨论，但其结果比正交变换要深刻一些，即可对角化；事实上对称变换的概念正是可从可对角化时讨论其满足什么条件出发发现的.
2．本节重要的结论可建立维欧氏空间中对称变换与阶实对称矩阵的一一对应，从而二者可从一方研究另
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