§7 不变子空间
问题：在前面内容中， 我们讲到矩阵等价，每一个等价类都有一个矩阵的等价标准型，
例如：对于阶矩阵来讲，有 类
对于矩阵的合同，我们也有过类似的内容
那么对于矩阵的相似， 我们同样讨论这种问题：在一切彼此相似的阶矩阵中人族无敌,
如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.
由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的. 换句话讲，就是
对于给定的维线性空间, A∈, 如何才能选到的一个基, 使A关于这个射手座男人的性格
基的矩阵具有尽可能简单的形式.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵
沈傲君百事可乐广告的化简与线性变换的内在联系.
一、不变子空间
1．定义7 设A是数域上线性空间的线性变换, 是的一个子空间. 如果
中的向量在 A下的像仍在中，换句话说, 对于中任一向量，有 A ，
就称是A 的不变子空间， 简称A -子空间.
2．例题
例1 整个空间和零子空间，对于每个线性变换A 都是A-子空间.
例2 A的值域与核都是A-子空间.
例3 若线性变换A与β是可交换的，则β的核与值都是A-子空间.
因为A的多项式(A)是和A交换的，所以(A)的值域与核都是A-人生得意须尽欢 莫使金樽空对月子空间.
例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.
例 5 特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.
设是一维A-子空间，
是中任何一个非零向量，它构成的一个基. 按A-子空间的定义，
A, 它必是的一个倍数cf烟雾头怎么调: A.
这说明是A的特征向量，而即是由生成的一维A-子空间.
反过来，设是A属于特征值的一个特征向量，则以及它任一倍数在A下
的像是原像的倍，仍旧是的一个倍数.这说明的倍数构成一个一维A-子空间.
例 6，A的属于特征值的一个特征子空间也是A的一不变子空间.
例 7 A—子空间的和与交还是A-子空间.
二、矩阵化简与不变子空间
1．A|
设A是线性空间的线性变换, 是A的不变子空间. 由于中向量在A下的像
仍在中，这就使得有可能不必在整个空间中来考虑A，而只在不变子空间中
考虑A，即把A看成是的一个线性变换，称为A在不变子空间上引起的变换.
为了区别起见，用符号A|来表示它；但是在很多情况下，仍然用A来表示而
不致引起混淆.
必须在概念上弄清楚A与A|的异同：A是的线性变换, 中每个向量在A下
都有确定的像；A|是不变子空间上的线性变换，对于中任一向量，有
(A|)=A.
但是对于中不属于的向量来说，（A|） 是没有意义的.
例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而在特征子空间上
引起的变换是数乘变换.
2．结论：如果线性空间的子空间是由向量组生成的，即
，则是A-子空间的充要条件为A,A,…, A全属于.
3．下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系.
1）设A是维线性空间的线性变换，是的A-子空间.在中取一组基
,并且把它扩充成的一组基
. (1)
那么，A 在这组基下的矩阵就具有下列形状
. (2)
并且左上角的级矩阵就是A|在的基下的矩阵.
2) 设分解成若干个A-子空间的直和：
.
在每一个A-子空间中取基
(3)
并把它们合并起来成为的一组基 .则在这组基下，A 的矩阵具有准对角形状
(4)
其中 就是A|在基(3)下的矩阵.
反之，如果线性变换A在基 下的矩阵是准对角形（4），则由（3）生成的
子空间 是A-子空间.
由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的.
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三、 按特征值分解线性空间
下面应用哈密尔顿-凯莱定理将空间按特征值分解成不变子空间的直和.
定理12 设线性变换A的特征多项式为，它可分解成一次因式的乘积
则可分解成不变子空间的直和
其中 .
证明：（1）设 ， ，即是 的值域，
利用 互素来证明
(2) 再证明 是直和
首先设 ，(*) 这里
另一方面, , 所以 中含有因式 ,
用 作用于 (*), 我们得到
最后因为 与 互素, 我们推出
其次注意到 如果 ，即存在 , 使 , 我们得到
, 显然可以推出 ,
从而 是直和
(3) 证明 , 即 是 的核
显然 , 对于 ,
我们知道 , 从而 ,
重复 (2) 的证明, 我们得到 , 命题成立.
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