10.1.1有限样本空间与随机事件
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《10.1.1有限样本空间与随机事件》，本节课通过对具体事例，帮助学生建立随机实验的概念，并通过对随机实验结果的数量表示，建立样本空间的概念，为概率的学习打好基础。并加深对概率思想方法的理解。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标 | 学科素养 |
A.理解随机试验的概念及特点 B.理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间 C.理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质 | 1.数学建模：随机实验及样本空间的概念 2.逻辑推理：分析随机实验的样本空间 3.数学运算：计算随机实验的样本空间 4.数据分析：会求所给试验的样本点和样本空间； |
1.教学重点：随机试验的概念及特点；
2.教学难点： 理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间；
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教学过程 | 教学设计意图 核心素养目标 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
一、温故知新 概率论的产生和发展 概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的， 但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论问题的源泉。 传说早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天， A赢了4局， B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才理？ 这个问题让帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷兰著名的数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的一部著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。 在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率. 本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质. 随机现象普遍存在，有的简单有的复杂，有的只有有限个可能结果，有的有无穷个可能结果；这里的无穷又分为两种，即可列无穷和不可列无穷，例如，对掷硬币试验，等待首次出现正面朝上所需的试验次数，具有可列无穷个可能结果；而预测某地7月份的的降水量，可能结果则充满某个区间，其可能结果不能一一列举，即有不可列无穷个可能结果.所以，常见的概率模型有两类，即离散型概率模型和连续型概率模型.高中阶段主要研究离散型概率模型. 研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果.例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从班级随机选择10名学生，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分囊数；记录某地区7月份的降雨量等等. 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（random experiment),简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 思考1：体育摇奖时,将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？ 共有10种可能结果. 所有可能结果可用集合表示为:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 样本点是随机试验的每个可能的基本结果，样本空间是全体样本点的集合.关于什么是基本结果,只能直观描述,无法严格定义. 我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1, ω2,..., ωn,则称样本空间Ω={ω1, ω2,..., ωn,}为有限样本空间. 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间（sample space). 一般地，我们用Ω(欧米伽)表示样本空间，用ω表示样本点. 例如，抛掷一对骰子，建立包含36个样本点的样本空间Ω1={(x,y)|x,y∈{1,2,3,4,5,6}},其中每个结果就是基本结果， 如果建立只包含4个可能结果的样本空间 Ω2={(偶，偶）,(偶，奇）,(奇，偶）,(奇，奇）}, 其中每个元素就不能认为是基本结果. 因为在样本空间Ω2中无法求“点数之和为5”的概率. 例1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。 解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω =(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”， t表示“反面朝上”，则样本空间Ω ={h,t}. 例2 .抛掷一枚骰子（touzi),观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间. 解：用i表示朝上面的“点数为i”， 因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果， 所以试验的样本空间可以表示为Ω ={1,2,3,4,5,6}. 构建样本空间，这是将实际问题数学化的关键步骤，其作用体现在：可以利用集合工具（语言）描述概率问题，能用数学语言严格刻画随机事件的概念，通过与集合关系与运算的类比，可以更好地理解随机事件的关系和运算意义.可以用符号语言准确而简练地表示求解概率问题的过程. 解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示， 第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用（x,y)表示.于是，试验的样本空间 Ω ={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)} 例3.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间 如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”，那么样本空间还可以简单表示为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}. 如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程. 对于只有两个可能结果的随机试验，一般用1和0表示这两个结果.一方面数学追求最简洁地表示，另一方面，这种表示有其实际意义，在后面的研究中会带来很大的方便. 1.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点的总数； (3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？ (4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？ 解:(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}． (2)样本点的总数为16. (3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)； “x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)． (4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4),(2,2),(4,1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)． 思考2. 在体育摇号实验中，摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？ 显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件. 我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1,3,5,7,9}. 因此可以用样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示随机事件A. 类似地，可以用样本空间的子集{0,3,6,9}表示随机事件“球的号码为3的倍数” 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件（random event),简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary event). 随机事件一般用大写字母A,B,C,···表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. 而空集Φ不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们Φ称为不可能事件. 必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空间。Ω的一个子集. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。 1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件： （1）某地1月1日刮西北风；（2）当x是实数时, (3)手电筒的电池没电,灯泡发亮； （4）一个电影院某天的上座率超过50%。 （5）如果a＞b，那么a一b＞0； （6）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签; （7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫； （8）随机选取一个实数x，得|x|<0. 随机事件;必然事件;不可能事件;随机事件;必然事件;随机事件;随机事件;不可能事件 例4如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. (1)写出试验的样本空间; (2)用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常”； N=“电路是通路”； T=“电路是断路”. 解：(1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}. (2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1, 所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}. 特长及爱好怎么写“电路是通路”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω ,x1豪华车=1,且x艾草驱蚊2,x3中至少有一个是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。 同理，“电路是断路”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}. 如图,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果. (1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点．然后出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件． (2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率． | 由回顾知识出发，提出问题，让学生了解概率论的产生和发展。增加学生的数学文化素养。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。 通过具体问题，让学生感受随机实验及样本空间的额概念。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。 通过实例分析，让学生掌握分析样本空间和样本点的方法，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
三、达标检测 1.从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是( ) A.3个都是篮球 B.至少有1个是排球 C.3个都是排球 D.至少有1个是篮球 答案:C 解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件. 2．先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y钢琴演奏家，则事件：log2xy＝1包含的样本点有_______．
解析 先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数有36种结果．解方程log2xy＝1得就算这次做错也只是怕错过y＝2x， 则符合条件的样本点有 (1,2)，(2,4)，(3,6)． 3.写出下列各随机试验的样本空间： (1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别； (2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型； (3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别； (4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况； (5)射击靶3次，观察中靶的次数. 解:(1) Ω={男，女}或令m表示男生，f表示女生， 则样本空间为Ω={m,f}. (2) Ω={O,A,B,AB}. (3)用b表示“男孩”，g表示“女孩”，样本空间为Ω={bb,bg,gb,gg}. (4)每次射击，中靶用1表示，脱靶用0表示，则3次射击的样本空间 为Ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)} (5)Ω={(0,1,2,3)}。 4.如图，由A,B两个元件分别组成串联电路（图(1))和并联电路(图(2)),观察两个元件正常或失效的情况. (1)写出试验的样本空间； (2)对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点； (3)对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点. 解:(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. (2)对于串联电路，M={(1,1)}. (3)对于并联电路，N={(0,0)}. 5.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机模出一个球 (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“孩到球的号码是偶数” 解:(1) Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。 (2)A={1,2,3,4};B=5,6,7,8,9;;C={2,4,6,8}. | 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
四、小结 1.随机试验 可重复性、可预知性、随机性 2.样本空间、样本点Ω={ω1，ω2，…，ωn} 写随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，特别 注意题目的关键字，如“先后”“依次”“放回”“不放回”等． 3.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件 五、课时练 | 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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