考向22 空间几何体
1．（2021·湖南高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E苑怎么读为PD的中点.
（1）证明：平面ACE；
（2）设，，直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】(1) 连接交于点，连接，由三角形的中位线定理可知，结合线面平行的判定定理可证明平面.
(2)由题意可知，再运用锥体体积公式可求得四棱锥的体积.
【详解】（1）连接交于点，连接. 在中，因为，
所以，因为平面，平面，则平面.
（2）因为平面ABCD，所以就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以，
又，，所以，
所以四棱锥的体积，
所以四棱锥的体积为.
2．（2017·上海高考真题）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.
（1）求三棱柱的体积；
（2）设M是BC中点，求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）20;（2）
【分析】（1）三棱柱的体积，由此能求出结果；
（2）连结是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的大小.
【详解】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．
∴三棱柱ABC弓弓打一成语﹣A1B1C1的体积：
V＝S△ABC×AA1
20．
（2）连结AM，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，
两直角边三国演义主要内容AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，
∴AA1⊥底面ABC，AM，
∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，
tan∠A1MA，
∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．
【点睛】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
1.几何体的截面及作用
(1)常见的几种截面：①过棱柱、棱锥、棱台的两条相对侧棱的截面；②平行于底面的截面；③旋转体中的轴截面；④球的截面.
(2)作用：利用截面研究几何体，贯彻了空间问题平面化的思想，截面可以把几何体的性质、画法及证明、计算融为一体.
2.棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想.
3.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.
一、空间几何体的表面积、体积
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 | 棱柱 | 棱锥 | 棱台 |
图形 | |||
底面 | 互相平行且全等 | 多边形 | 互相平行且相似 |
侧棱 | 平行且相等 | 相交于一点，但不一定相等 | 延长线交于一点 |
侧面形状 | 平行四边形 | 三角形 | 梯形 |
(2)旋转体的结构特征
名称 | 圆柱 | 圆锥 | 圆台 | 球 |
图形 | ||||
母线 | 互相平行且相等，垂直于底面 | 相交于一点 | 延长线交于一点 | |
轴截面 | 全等的矩形 | 全等的等腰三角形 | 全等的等腰梯形宋史岳飞传 | 圆 |
侧面展开图 | 矩形 | 扇形 | 扇环 | |
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 | 圆锥 | 圆台 | |
侧面展开图 | |||
侧面积公式 | S圆柱侧＝2πrl | S圆锥侧＝πrl | S圆台侧＝π(r1＋r2)l |
4.空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 | 表面积 | 体积 |
柱 体 (棱柱和圆柱) | S表面积＝S侧人力资源管理专业课＋2S底 | V＝S底h |
锥 体 (棱锥和圆锥) | S表面积＝S侧＋S底 | V＝S底h |
台 体 (棱台和圆台) | S表面积＝S侧＋S上＋S下 | V＝(S上＋S下＋)h |
球 | S＝4πR2 | V＝πR3 |
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