上海市黄浦区2017年高考数学一模试卷（解析版）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[
1．若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z= ．
2．抛物线y2=2x的准线方程是 ．
3．若复数z满足（i为虚数单位），则z= ．
4．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα= ．
5．以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是 ．
6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是 ．
7．已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为 ．
8．已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）= ．
9．在数列{an}中，若对一切n∈N*都有an=﹣3an+1，且=，则a1的值为 ．
10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有 ．
11．已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若新年快乐的祝福句子，则实数λ的值为 ．
12．已知为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．若x∈R，则“x＞1”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
最佳男朋友C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α
15．在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan∠PAB•tan∠PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
16．若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数是（0建设银行汇款，1）上的“H函数”；②函数是（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17电脑wifi密码破解．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．
（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
18．已知双曲线C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．
（1）求双曲线C与其渐近线的方程；
（2）若斜率为杨洋的婚纱照1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．求直线l的方程．
19．现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．
（1）试求S关于θ的函数关系式；
（2）求S的最大值．
20．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．
（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；
（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．
21．已知数列{an}，{bn}满足bn=an+1﹣an（n=1，2，3，…）．
（1）若bn=10﹣n，求a16﹣a5的值；
（2）若且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；
（3）若cn=an+2an+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{an}为等差数列”的充分必要条件是“数列{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）”．
2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[
1．若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z= {0，1，2} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩Z即可．
【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}
={x|﹣2＜x﹣1＜2，x∈R}
={x|﹣1＜x＜3，x∈R}，
则A∩Z={0，1，2}．
故答案为{0，1，2}．
2．抛物线y2=2x的准线方程是 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．
【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，
∴准线方程是x=﹣
故答案为：﹣
3．若复数z满足（i为虚数单位），则z= 1+2i ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由，
得z=1+2i．
故答案为：1+2i．
4．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα= ﹣2 ．
【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．
【分析】由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．
【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，
∴cosα=，
又α∈（﹣，0），
∴sinα=﹣，
∴tanα==﹣2．
故答案为：﹣2．
5．以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是 （x﹣2）2+（y+1）2=18龙谷山庄 ．
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