第四部 数列专题
【考点1】等差数列与等比数列
1. 等差数列
等差数列{}n a 的通项公式：1(1)n a a n d *
()n N . 等差数列{}n a 的递推公式：1n n a a d (2)n . 等差数列{}n a 的前n 项和公式：11()(1)
2
2n n n a a n n S na d na 中. 等差数列{}n a 的性质： ① ()n m a a n m d .
线稿
② 若m n p q ，则m n p q a a a a .
③ k a 、k m a 、2k m a 、 成等差数列，公差为md .
④ n S 、2n n S S 、32n n S S 、43n n S S 、 成等差数列，公差为2
n d .
⑤ 数列{}n a 成等差数列n a pn q ，112n n n a a a ，2
n S An Bn .
⑥ 若数列{}n a 是等差数列，则{}n a
于朦胧演过的电视剧c 为等比数列，0c .
⑦ n S 是前n 项和，S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则n S S S 奇偶. 当n 为偶数时，2
n S S d
偶奇. 当n 为奇数时，S S a 奇偶中，11S n S n 奇偶，
S S n S S 奇偶
奇偶
. ⑧ 设n S 和n T 分别表示等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，则21
21
n n n n a S b T
. ⑨ 若p a q ，q a p ，p q ，则0p q a ，1d . 若p S q ，q S p ，p q ，则()p q S p q . 若p q S S ，p q ，则0p q S .
1.（2018年6）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a ，6714a a ，则7S
2.（2014春7）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S
3.（2013春11）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n S
4.（2018春5）已知{}n a 是等差数列，若2810a a ，则357a a a
5.（2017春6）若等差数列{}n a 的前5项的和为25，则15a a
6.（2013文2）在等差数列{}n a 中，若123430a a a a ，则23a a
7.（2012春13）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b （*n N ，2012n ），当k b 是数列{}n b 的最大项时，k
重阳节老人寄语8.（2017年15）已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c ，*n N ， 则“存在*k N ，使得100k x 、200k x 、300k x 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. 0a B. 0b C. 0c D. 20a b c
9.（2015春附3）已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ()n *
N ，那么（ ）
A. {}n a 是等差数列
B. 21{}n a 是等差数列
C. 2{}n a 是等差数列
D. 3{}n a 是等差数列
10.（2015春21）若无穷等差数列{}n a 的首项10a ，公差0d ，{}n a 的前n 项和为n S ， 则（ ）
A. n S 单调递减
B. n S 单调递增
C. n S 有最大值
D. n S 有最小值 2. 等比数列
等比数列{}n a 的通项公式：1
1n n a a q
*()n N .
等比数列{}n a 的递推公式：1n n a a q (2)n .
等比数列{}n a 的前n 项和公式：11(1)11n n n a a q
a q S q
q (1)q ，1n S na (1)q .
等比数列{}n a 的性质： ① n m
n m a a q
.
② 若m n p q ，则m n p q a a a a .
③ k a 、k m a 、2k m a 、 成等比数列，公比为m
q .
④ n S 、2n n S S 、32n n S S 、43n n S S 、 成等比数列，公比为n
q . ⑤ 数列{}n a 成等比数列2
11n n n a a a ，n n a p q ，(1)n n S A q .
⑥ 若数列{}n a 是等比数列，则{log }c n a 为等差数列，0n a .
⑦ n S 是前n 项和，S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则n S S S 奇偶. 当n 为偶数时，
S q S 偶奇
. 当n 为奇数时，
1
S a q S 奇偶. ⑧ 设n T 是前n 项积，T 奇表示奇数项的积，T 偶表示偶数项的积，则n T T T 奇偶. 当n 为偶数时，
2蛋炒饭怎么做
n T q T 偶奇
. 当n 为奇数时，
T a T 奇
中偶
. 11.（2011春8）若n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a ，则6
3
S S
12.（2014春22）已知数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，若2n n b a ，则数列{}n b 是 （ ）
A. 以q 为公比的等比数列
B. 以q 为公比的等比数列
C. 以2q 为公比的等比数列
D. 以2q 为公比的等比数列
13.（2011理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a 的矩形面积 （1,2,i ）b股交易规则
，则{}n A 为等比数列的充要条件是（ ） A. {}n a 是等比数列
B. 1321,,,,n a a a 或242,,,n a a a 是等比数列
C. 1321,,,,n a a a 和242,,,n a a a 均是等比数列
D. 1321,,,,n a a a 和242,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同
14.（2015理17）记方程①：2110x a x ；方程②：2210x a x ；方程③： 2310x a x ；其中1a 、2a 、3a 是正实数，当1a 、2a 、3a 成等比数列时，下列选项中， 能推出方程③无实数根的是（ ）
A. 方程①有实根，且②有实根
B. 方程①有实根，且②无实根
C. 方程①无实根，且②有实根
D. 方程①无实根，且②无实根
15.（2014文23）已知数列{}n a 满足1133
n n n a a a ，*n N ，11a .
（1）若22a ，3a x ，49a ，求x 的取值范围；
（2）设{}n a 是等比数列，且1
1000
m a ，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相 应{}n a 的公比；
（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.
着多音字组词16.（2014理23）已知数列{}n a 满足1133
n n n a a a ，*n N ，11a .
（1）若22a ，3a x ，49a ，求x 的取值范围；
（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a ，若1133
n n n S S S ，
*n N ，求q 的取值范围；
（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a ，求正整数k 的最大值， 以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.
17.（2013文22）已知函数()2||f x x ，无穷数列{}n a 满足1()n n a f a ，*n N . （1）若10a ，求2a 、3a 、4a ；
（2）若10a ，且1a 、2a 、3a 成等比数列，求1a 的值；
（3）是否存在1a ，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ； 若不存在，说明理由.
【考点2】数列通项与数列求和
1. 求数列通项方法
（1）公式法：等差数列通项1(1)n a a n d ，等比数列通项1
1n n a a q .
（2）累加法（累乘法）
：
1()n n a a f n ，1
()n
n a f n a ，2n . （3）作差法（作商法）
：若123n n S a a a a ，则1n n n a S S ，2n . 若123n n T a a a a ，则1
n
n n T a T
，2n . （4）构造法：1n n a Aa B ，1n n a Aa Bn C ，1n
n n a Aa B .
1q n n a pa ，1
1n n n a a ka b
，11n n n a pa qa ，其他类型.
（5）数学归纳法：对数列通项进行归纳猜想，然后按数学归纳法步骤进行证明. 2. 数列求和方法
（1）求和公式法：等差数列前n 项和公式：11()(1)
2
2n n n a a n n S na d na
中. 等比数列前n 项和公式：11(1)11n n n a a q
a q S q
q (1)q .
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。
发表评论