第六部 解析几何专题
【考点1】轨迹方程
常用方法：① 直接法. ② 定义法. ③ 代入法. ④ 消参法. ⑤ 交轨法.
1.（2014春23）若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y ，则“(,)0F a b ” 是“点P 在曲线C 上”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
2.（2019春16）平面直角坐标系中，两动圆1O 、2O 的圆心分别为1(,0)a 、2(,0)a ，且两 圆均过定点(1,0)，两圆与y 轴正半轴分别交于点1(0,)y 、2(0,)y ，若12ln ln 0y y ，点
12
11
(
,a a 的轨迹为 ，则 所在的曲线可能是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
3.（2015春12）已知点(1,0)A ，直线:1l x ，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分
别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A
，则M 的轨迹方程为
4.（2014春12）已知函数2
()1
x f x x
与()1g x mx m 的图像相交于A 、B 两点， 若动点P 满足||2PA PB
，则P 的轨迹方程为
5.（2013春24）已知A 、B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，
垂足为N ，若2MN AN NB
，其中 为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 双曲线
6.（2014春30）已知直角三角形ABC 的两直角边AC 、BC 的边长分别为b 、a ，如图， 过AC 边的n 等分点i A 作AC 边的垂线i d ，过BC 边的n 等分点i B 和顶点A 作直线i l ，记
i d 与i l 的交点为i P （1,2,,1i n ），是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n ，
点i P （1,2,,1i n ）都在这条曲线上？说明理由.
7.（2011理23）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值 称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .
（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x 的距离(,)d P l ；
（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{|(,)1}D P d P l 所表示的图形面积； （3）写出到两条线段1l 、2l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l ，其中
1l AB ，2l CD ，A 、B 、C 、D 是下列三组点中的一组.
对于以下三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多 于一种情形，按照序号较小的解答计分 ①(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C ，(1,0)D ； ②(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C ，(1,2)D ； ③(0,1)A ，(0,0)B ，(0,0)C ，(2,0)D .
【考点2】直线方程
点方向式方程：点00(,)x y ，方向向量(,)d u v ，00
x x y y u v
十大护肤品. 点法向式方程：点00(,)x y ，法向量(,)n a b
，00()()0a x x b y y .
点斜式方程：点00(,)x y ，斜率为k ，00()y y k x x . 斜截式方程：点(0,)b ，且斜率为k ，y kx b .
截距式方程：与x 轴和y 轴分别交于点(,0)a 、(0,)b (0)ab ，1x y
a b
. 一般式方程：0ax by c （a b 、不同时为零） 夹角公式1：1111:0l a x b y c 和2222:0l a x b y c ，
1212||
cos ||||
d d d d
姜芽1221
1212
tan a b a b a a b b
.
夹角公式2：111:l y k x b 和222:l y k x b ，1212||
tan |1|
k k k k
当1l 与2l 相互垂直时，12120a a b b ，121
k k
点00(,)P x y 到直线:0l ax by c
的距离公式：d
的符号确定了点P 关于直线l 的相对位置，在直线同侧的所有点， 的符号是相同的，在直 线异侧的点， 的符号是相反的.
两平行线间距离公式：设两条平行直线为11:0l ax by c 和22:0l ax by c ，
祝大家冬至快乐的句子12c c
，它们之间的距离d
.
弦长公式：12AB x .
以其人之道12AB y 8.（2019年13）已知直线方程20x y c 的一个方向向量d 可以是（ ）
A. (2,1)
B. (2,1)
C. (1,2)
D. (1,2) 9.（2013春15）直线2310x y 的一个方向向量是（ ）
A. (2,3)
B. (2,3)
C. (3,2)
D. (3,2)
10.（2012文4）若(2,1)d
是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为
（结果用反三角函数值表示）
11.（2012理4）若(2,1)n
是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为
（结果用反三角函数值表示）
12.（2015春17）直线3450x y 的倾斜角为（ ） A. 3arctan 4 B. 3arctan 4 C. 4arctan 3 D. 4
arctan 3
13.（2016年3）已知平行直线1:210l x y ，2:210l x y ，则1l 与2l 的距离是
14.（2014春5）点(0,0)O 到直线40x y 的距离是
15.（2011春7）两条直线1:20l x 与2:20l x y 夹角的大小是
16.（2016春3）直线1y x 与直线2y 的夹角为
17.（2011文5）若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则直线l 的方程为
山东建筑大学专业18.（2018年12）已知常数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y ，2
22
21x y ，
12121
2x x y y
的最大值为
19.（2018春12）如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方 形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点 P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的 速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长 约为 秒（精确到0.1）
20.（2017年12）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个 标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P
P P ，点P ，过P 作直线 P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另
每当我走过老师窗前歌曲一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l ， 则 中所有这样的P 为
21.（2014年22）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c 和点111(,)P x y ，
222(,)P x y ，记1122()()ax by c ax by c ，若0 ，则称点1P 、2P
被直线l 分隔， 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点1P 、2P
被直线l 隔，则称直线l 为曲线 C 的一条分隔线.
（1）求证：点(1,2)A ，(1,0)B 被直线10x y 分隔；
（2）若直线y kx 是曲线2241x y 的分隔线，求实数k 的取值范围；
（3）（文）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ， 求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线.
（3）
（理）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ， 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.
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