费马点的问题
定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：
1． 费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2． 费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3． 费马点为三角形中能量最低点。
4． 三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小
证明：∵ △ABH是等边三角形。G是其重心。
∴ ∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.
以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.
∵ AH=BH=AB=12.
哪些专业就业前景好 ∴ ∠AGH=120°, ∠HGP=60°.
∴ A、G、P三点一线。
再连PD两点。
柳岩照片 ∵ △ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.
∴ ∠PHD=30°,.
在△HGB和△HPD中
∵ HG=HP好听的乐曲
∠GHB=∠PHD；
HB=HD；
∴ △HGB≌△HPD； （SAS）
∴ ∠HPD=∠HGB=120°；
∵ ∠HPG=60°.
∴ G、P、D三点一线。
∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。
∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.
∴ G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。
例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小
证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △HGB≌△HPD；
∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.
∵ ∠GCP=60°,
∴ ∠BCD=60°,
∴ △GCP和△BCD都是等边三角形。
∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.
∴ A、G、P三点一线。
∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.
∴ G、P、D三点一线。
∴ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。
∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.
∴ G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
但它不同于等边三角形的费马点是重心。
例3：已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小
证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB≌△CPD；
∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.
∵ ∠GCP=60°,
∴ ∠BCD=60°,
∴ △GCP和△BCD都是等边三角形。
∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.
∴ A、G、P三点一线。
∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.
∴ G、P、D三点一线。
∴ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。
∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.
∴ G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
但它不同于等边三角形的费马点是重心。
（费马点问题）如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.
解：Part1:将绕点顺时针旋转60°得到，易知为等边三角形.从而（两点之间线段最短），从而.
Part2:过作的平行线分别交于点，易知.
因为在niceday是什么意思和中，①， ②。
又，所以③. ①+②+③可得
，
即.综上，的取值范围为.
“费马点”与中考试题
费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一． 费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点． 费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．
下面简单说明如何点P使它到三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是所谓的费尔马问题．
图1
解析：如兵马俑一日游图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．
则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，
所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．
点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点全国最好的化妆学校，BC′为定长 ，所以当B、P、P′、C′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．
这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，
∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，
∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°
因此，当的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
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