二次函数的综合应用
二次函数的实际应用
（1）增长率问题
一月 | 二月 | 三月 | ||
a | 增长率为x | a(1+x) | 增长率为x | a(1+x)2 |
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（2）利润问题
在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量
（3）面积问题
矩形面积=长×宽
材料总长 | 矩形长 | 矩形宽 |
a | x | |
题型一 二次函数的应用—销售问题
例7.某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件与销售单价（元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的．
（1）设该公司每月获得利润为（元，求每月获得利润（元与销售单价（元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，
即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；
（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5
又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．
∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，
∴当x＝24时，W＝2880，
答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．
变式训练1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降元，每天获利元．
（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？
修防水漏水（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？
【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；
（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；
【答案与解析】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，
∵20+2x≥44，
∴x≥12，
∵y随x的增大而减小，
∴当x＝12时，获利最大值1232；
答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；
（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）丰收 打一字2+1250，
∴x＝10或x＝20，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，
当10≤x≤20时，y≥1200，
答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.
变式训练2.为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为，种草所需费用（元与的函数关系图象如图所示，栽花所需费用（元与的函数关系式为．
（1）求（元与的函数关系式；
（2）设这块空地的绿化总费用为（元，请利用与的函数关系式，求绿化总费用的最大值．
【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y1（元）与x（m2）的函数关系式
（2）总费用为W＝y1+y2，列出函数关系式即可求解
【答案与解析】解：
（1）依题意
青瓷剧情介绍当0≤x≤600时，y1＝k1x，将点（600，18000）代入得18000＝600k1，解得k1＝30
∴y1＝30x
当600＜x≤1000时，y1＝k2x+b，将点（600，18000），（1000，26000）代入得
，解得
∴y1＝20x+600
综上，y1（元）与x（m2）的函数关系式为：
（2）总费用为：W＝y1+y2
∴W＝
整理得
故绿化总费用W的最大值为32500元.
变式训练3.某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商
品在未来40天内的日销售量（件与时间（天的关系如下表：
C罗获得新东家1亿欧签字费
时间（天 | 1 | 3 | 5 | 10 | 36 | |
日销售量（件 | 94 | 90 | 86 | 76 | 24 | |
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件与（天之间的表达式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
【答案与解析】解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m＝kt+b（k≠0），
将t＝1，m＝94，t＝3，m＝90
代入，
解得，
∴m＝﹣2t+96；
（2）前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元，
则P1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）＝﹣（t﹣14）2+578，
∴当t＝14时，P1有最大值，为578元．
P2＝（﹣2t+96）•（t+40﹣20）＝﹣t设置主页2+8t+1920＝（t﹣44）2﹣16，
∵当21≤t≤40时，P2随t的增大而减小，
∴t＝21时，P2有最大值，为513元．
∵513＜578，
∴第14天日销售利润最大，最大利润为578元．
题型二 二次函数的应用—面积问题
例8.如图，用长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长，设矩形的宽为．
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