巧解应用题:掌握五大解题步骤轻松解决一块草地上牛吃草问题
巧解应用题:掌握五大解题步骤轻松解决一块草地上牛吃草问题
英国大科学家牛顿曾经出过一道饶有趣味的题目,这就是著名的牛吃草问题:
有一片牧场,已知饲牛 10 头,20 天把草吃完;若饲牛 15 头,则 10 天把草吃完;
饲牛 25 头,问几天把草吃完?
解答此题的难点在于每天有新的草产生,草的数量总是在不断变化,也就是
说这类问题的工作总量是不固定的,一直在匀速变化。
因此,解答这类题目的关键是想办法从变化中出不变量。牧场上原有的草
总量是不变的,新长出的草虽然在变化,但因为我们假设它是匀速生长,所以每
天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草量及每天新长出的草量,
问题就会迎刃而解。
一、基本知识点
1、含义
牛吃草问题又称消长问题或牛顿牧场,就是牛在牧场上吃草而草又不断生长
的问题,它涉及到三种数量:原有的草、新长出的草、牛吃掉的草,人们把涉及
到这三种量的应用题,叫作牛吃草问题,也就牛顿问题。
2、特点
(1)随着时间的增长,每天有新的草产生,草的数量总是在不断变化;
妇女节送给妈妈什么礼物好(2)草的增长速度不变,即每天新长出的草量不变;
(3)草场原有草的量不变 ;
(4)每头牛每天的食草量不变。
3、口诀
每牛每天的吃草量假设是份数 1,A 头 B 天的吃草量是几,M 头 N 天的吃草
量又是几,大的减去小的,除以二者对应的天数差,结果就是每天长草量。
原有草量就是 A 头 B 天的吃草量减去 B 天乘每天长草量。
将未知吃草量的牛分为两个部分:部分牛先吃新草,个数就是草的比率;有
的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。
4、数量关系
(1)每天长草量=(对应牛的头数×吃得较多天数-对应牛的头数×吃得较
少天数)÷(吃得较多天数-吃得较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-每天长草量×吃的天数;
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-每天长草量);
温州科技技术学院(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+每天长草量
5、解题思路
(1)假设 1 头牛 1 天吃草量为"1";
(2)求出每天长草量;
(3)求出牧场原有草量;
(4) 求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量-每天长草量=消耗原有草量);
(5)求出可吃天数。
6、变式
(1)在漏水的船里舀水;
桂林好玩吗(2)蜗牛在井里边爬边滑;
(3)往漏水的水池里放水;
(4)检票口检票;
二、一张思维导图归纳总结
三、经典应用
例 1 牧场上有一片青草,每天匀速生长,这片青草可供 10 头牛吃 20 天,
可供 15 头牛 10 天,问可以供 25 头牛吃几天?
【分析】第一步、假设每头牛每天的吃草量为 1 份。这样可以求出 10 头牛
20 天一共吃掉的青草总量是 10×20=200(份)。在这 200 个单位中既包括了牧场开学第一课读后感感想
原有的青草量,也包括了在这 20 天中新生长出的青草量。同样地,我们也可以
求出 15 头牛 10 天吃掉的青草总量是 15×10=150(份)。在这 150 个单位的青草
中,既包括了牧场原有的青草量,也包括了在这 10 天中新生长出的青草量。因
为牧场上原有的青草是一定的,并且青草每天生长的速度相同。
第二步、求出每天长草量。我们根据上面求出的 20 天的青草总量和 10 天的
青草总量,就可以求出每天青草的生长量,即(200-150)÷(15-10)=5(份)。
第三步、求出牧场原有草量。知道了每天新生的青草量以后,就不难求出牧
场原有的青草量是 200-5×20=100(或 150-5×10=100)(份)。
第四步、求出每天实际消耗原有草量。25 头牛每天要吃掉 25 份的青草,由
于每天长出新草 5 份,所以实际每天原有的草量只减少了 25-5-20(份)。
第五步、求出可吃天数。我们只要算出原有的草量每天吃掉 20 份,几天可
以吃完,这就是 25 头牛吃完牧场全部青草所需要的时间
【解答】假设每头牛每天吃的青草量为 1 份,
每天长草量:(10×20-15×10)÷(20-10)=5(份)
原有草量: 10×20-5×20=100(份)
25 头牛每天吃掉原有青草的数量:25-5=20(份)
吃完全部青草所需的时间:100÷20=5(天)
答:可以供 25 头牛吃 5 天。
例 2 因天气渐冷,牧场上的草不仅不生长,反而每天以均匀的速度在减少
已知牧场上的草供 33 头牛吃 5 天,或可供 24 头牛吃 6 天。照此计算,这个牧
场可供多少头牛吃 10 天?
【分析】与例 1 不同的是,不但没有新长出的草,而且原有的草还在每天匀
速减少,但是,我们同样可用类似的方法求出每天减少的量和原来的草的总量。
【解答】第一步、假设每头牛每天的吃草量为 1 份。
第二步、求出每天减草量。苍井空
每天减少的草量:(33×5-24×6)÷(6-5)=21(份)
第三步、求出牧场原有草量。
牧场上原有的草量:(33+21)×5=270(份)
或(24+21)×6=270(份)
第四步、求出牛 10 天吃草量。
10 天吃草量:270-21×10=60(份)
第五步、求出牛头数。
牛头数:60÷10=6(头)
答:这个牧场可供 6 头牛吃 10 天。
例 3 有一片青草,每天生长的速度相同已知这片青草可供 15 头牛吃 20 天,
或者供 76 只羊吃 12 天,如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草,那么 8 头牛
与 64 只羊一起吃,可以吃多少天?
【分析】本题中既有牛又有羊,为了便于通过比较所吃的总草量来求出每天
生长的新草量和原有的总草量,我们可以先根据已知条件"一头牛的吃草量等于
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4 只羊的吃草量",将已知条件"15 头牛吃 20 天"转化成"60 只羊吃 20 天",
统一以羊的吃草量为标准,同时把条件"8 头牛与 64 只羊一起吃"相应地转换
成"96 只羊一起吃",这样就可以按照例 1 的解题思路来解答。
我们也可以统一以牛的吃草量为标准,那么"76 只羊吃 12 天"就转换成
"19 头牛吃 12 天",条件"8 头牛与 64 只羊一起吃"也相应地转换成"24 头
牛一起吃"然后再按照例 1 的解题思路来解答。

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