三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
教学内容
全等三角形的判定
教学目标
掌握全等三角形的判定方法
重点
  全等三角形的判定
探索三角形全等的条件（5种）
1 边角边（重点）
两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”.
注：必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.
原因：如图：在ABC和ABD中，A=A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等.
例1 如图，AC=AD,CAB=DAB,求证:ACB≌ADB.
例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,ABC=DCB，AB=DC，AE=DF求证：BF=CE.
例3．(1)如图①，根据“SAS”,如果BD=CE，      =      ，那么即可判定△BDC≌△CEB；
  (2) 如图②，已知BC=EC，∠BCE=ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为
例4.如图，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌      ，理由是      ；
△ABE≌      ，理由是      ．
   
例5．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要出∠      =∠      或
      ∥      ，就可得到△ABC≌△DEF．
例6．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．
例7．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．
    求证：∠A=∠E
预祝2020高考顺利的话例8．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
小说作者番茄
2.角边角
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）
例1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是      ：．(不添加辅助线)
   
例2.如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则由“AAS”可直接判定
△      ≌△      ．
   
例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC立春有什么讲究，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若住房补贴EF=5cm，那么AE=      cm．
例4.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作
PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为      ．
     
例5．如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．
例6．如图，在△ABC中，D是BC边上的点 (不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．
    (1) 你添加的条件是：      ；(2) 证明： 
例7．如图，A在DE如何成为淘宝供货商上，F在AB上，且BC=DC，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于    (    )
    A．DC            B．BC
C．AB            D．AE+AC
【基础训练】
1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．
                   
2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．
3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．
4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件(    )．
                       
  A．∠B＝∠D                    B∠C＝∠E
  C．∠1＝∠2                    D．∠3＝∠4
5．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于(    )．
A．60°                        B．50°
C．45°                      D．30°
6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．
7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：
(1)∠C＝∠D；
(2)△AOC≌△BOD．
8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．
10．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．
角角边
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS”.
例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和高BE的交点，试说明BH＝AC．
例2、如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm．
求BE的长．
例3、如图, 在△ABC中, AC⊥BC, CE⊥AB于E, AF平分∠CAB交CE于点F, 过F作FD∥BC交AB于点D. 求证：AC＝AD.
例4、如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,
(1)求∠ABC与∠C的度数；       
(2)求证：BC＝2AB.
边边边
三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”.
例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．你能说明∠C=∠A吗? 试一试．
2023新年快乐祝福语例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点 (不与A重合)，在E移动过程中．BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
例3．如图，AB=CD，AE=CF，BO=DO，EO=FO．求证：OC=OA．
斜边、直角边
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL”。
例1．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB＝DC．求证：∠ABD＝∠ACD．
例2．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．
求证：（1）；（2）．
例3．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC
例4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
求证：AD是△ABC的角平分线．
例5．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上的一点，点E在BC边上，连接AE，DE，DC，AE=CD．求证：∠BAE=∠BCD．
例6．如图，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，且AE=AF．
    (1) △AED与△AFD全等吗? 为什么?
    (2) AD平分∠BAC吗? 为什么?
例7．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，BC与AD交于O，AC=BD．试说明：∠OAB=∠OBA．
例8．如图，∠ACB 和∠ADB都是直角，BC=BD，E是AB上任意一点．求证：CE=DE．
例9．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．
    (1) 图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
    (2) 求证：CF=EF．
例10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，并且CB=CD．
求∠ABC+∠ADC的度数．
例11．(1) 如图①，A，E，F，C四点在一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接BD交AC于点G，若AB=CD，试说明FG=EG．
    (2) 若将△DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，(1)中其他条件不变，上述结论是否仍成立? 请说明理由．
 
课后练习：
1．如图，点C在线段AB的延长线上，AD＝AE，BD＝BE，CD＝CE，则图中共有_______对全等三角形，它们是_______．
2．如图，若AB＝CD，AC＝BD，则可用“SSS”证_______≌_______．
3．如图，已知AB＝DC，BE＝CF，若要利用“SSS”得到△ABE≌△DCF，还需增加的一个条件是_______．
                   
4．如图所示是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若想固定其形状不变，需要加钉一根木条，可钉在(    )．
  A．AE上                            B．EF上
  C．CF上                            D．AC上
5．如图，已知E、C两点在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF．
6．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB＝DC，AC＝BD．
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC的形状是_______．（直接写出结论，不需证明）
7、如图，在□ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC  与EF相交于点O．
  (1)过点B作AC的平行线BG，延长EF交BG于点H；
  (2)在(1)的图中，出一个与△BFH全等的三角形，并证明你的结论．
8、如图，已知BD⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B、C，CD＝BD，AD平分∠BAC吗，为什么？
9．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．那∠AF与BF＋EF相等吗？请说明理由．
10．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，如果BD＝CE，试证明AB＝AC．
11．如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC、AD相交于点E
  (1)请说明AE＝BE的理由；
  (2)若∠AEC＝45°，AC＝1，求CE的长．
12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，BE＝CF．
  (1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；
  (2)选择一对你认为全等的三角形进行证明．
练习2
1．如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF．
  (1)若以“ASA”为依据，还缺条件_______；
  (2)若以“AAS”为依据，还缺条件_______
2．如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD＝∠ACD，则由“AAS"可直接判定△_______≌△_______．
3．如图，已知AB＝AC，要根据“ASA”得到△ABE≌△ACD，应增加一个条件是_______．
4．如图，点P是∠AOB的平分线OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中有_______对全等三角形，它们分别是_______．
5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是(    )．
  A．带①去                        B．带②去
  C．带③去                        D．带①和②去
6．如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，AB与AD相等吗？请说明理由．
7．如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝∠C，要使△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是_______．（写出一个即可）
8.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和高BE的交点，试说明BH＝AC．
9．如图，已知点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF．请你判断上面这个判断是否正确，如果正确，请给出说明；如果不正确，请添加一个适当条件使它成为正确的判断，并加以说明．
10．已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．

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