初中数学“最短距离”问题分类及解题策略
绵阳市游仙区新桥中学数学教研组 何道华
最短距离问题贯穿于初中几何学习的整个过程，由初一上册的“两点之间的距离”，初一下册的“点到直线的距离”、“平移”等基本问题开始，到初二上册的轴对称，初二下册的直角三角形的有关计算，再到初三上册的旋转等，都涉及到研究距离最短的问题。虽然解决此类问题的依据很简单，主要是线段最短、垂线段最短以及三角形中的三边大小关系等原理，但图形千变万化，经常与三角形、四边形、圆及抛物线等问题综合考察，涉及的知识背景多，动点、动线的位置不确定，往往需要作平移、对称、旋转等辅助线才能发现线段之间的联系，到最短距离的位置后，通常还需要进行准确的计算。通过这类问题的解决，能培养学生动手操作、逻辑思考、严密计算等能力，是各类考试的热点同时也是难点问题。
一、最短距离的基本原理
1、两点间的距离是指连接两点的 的长度。
在连接两点的所有线中， 最短。简称 。
2、点到直线的距离是指点到直线的 的长度。
在连接直线外一点与直线上一点的所有线段中， 最短。
简称 。
3、两平行线间的距离是指平行线中一条直线上的任意一点到另一直线的 的长度。
4、三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边。
由任意三点连接的三条线段中，另两边之差≤第三边≤另两边之和。
二、题型及解题策略
题型 解题策略 项 目 | 举 例 | 解题策略 | ||||
问 题 | 解 法 | 依 据 | ||||
一 条 线 段 | 同一平面内 | 有关联线段 | Rt△ABC中，点D在斜边AB上移动，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G是EF的中点。作出CG最短时的图形。 | 连接CD，则，当CD┴AB时，CG最短。 | 垂线段最短 | 利用相等线段转化。 |
无关联线段 | 正方形的顶点A、B分别在x、y的正半轴上，AB=a，作出OC最长时的图形。 | AB的中点E，连接OE、CE，当三点O、E、C共线时，OC最长。 | 三角形的一边小于另两边之和 | 挖掘图中的固定点及长度不变的线段，与所求线段构造△。 | ||
空间距离 | 求一只蚂蚁从点A沿正方体表面爬到点G的最短距离。 | 把正方体展开，使点A和点G在同一平面内。 | 两点之间线段最短 | 把空间距离问题转化在同一平面内。 | ||
两 条 线 段 | 两线段之和最小 | 两线段共点 | 在河边建抽水站P，使它到两厂A、B距离之和最短。 | 作其中一厂关于河边的对称点，连接该点与另一厂，与河边的交点P即为所求。 | 任意三点构成的线段中，当第三边为定值，另两边的公共点在第三边上时，两边之和最小；若另两边的公共点在第三边延长线上时，两边之差最大。 | 利用轴对称将其中一条线段转移到与另一线段在同一△中，而该△的第三边是固定的。 |
两线段不共点 | 要沿河边修一条100米长的绿道，方便C、D两小区居民散步。怎样规划路线，才能使所建的道路之和最短？ | 沿河边方向把点C向右平移100米到点E，作点E关于河边的对称点E′，连接DE′，交河边于点B，再作AB=100米即可。 | ||||
两线段之差最大 | 定点在定直线同侧 | 在河边一点Q，使|QA-QB|的值最大。 | 两定点所连直线与定直线的交点为Q。 | |||
定点在定直线异侧 | 在河边一点Q，使|QA-QB|最大。 | 作点A关于河边的对称点A′，连接A′B，与河边的交点即为Q。 | ||||
带系数 的线段 之和 | 动点在 线段上 | 点B在射线AM外，请在射线上求一点P，使AP+PB的值最小。 | 作∠MAN=30°，BE┴AN于E，交AM于P，则PE=1/2AP，当点C移动到点P时，1/2AC+CB的值最小=BE。 | （1）△两边之和大于第三边； （2）垂线段最短。 | 构造正弦值与系数相等的角，进而转化为两线段的和。 | |
动点在 圆上 | 如图AC⊥BC，CB=4，CA=6，⊙C的半径为2，点P在圆C上。求PA+PB的最小值。 | 连接CP，因CP:CB=1:2想到作CD=1，构造△CPD∽△CBP，则PD=1/2PB，连接AD与交⊙C于E，当P与E重合时，PA+1/2PB最小。 | （1）圆的半径相等； （2）△两边之和大于第三边 | 利用半径相等的特点构造相似比等于所求系数的母子相似△，进而转化为两线段的和。 | ||
三 条 线 段 | 三线段 首尾相连 | 点A、B在∠MON的两边上，请在∠MON的两边上两点C、D，使AD+CD+CB的值最小。 | 分别作点A、B关于ON、OM的对称点E、F，连接EF，分别交角的两边于点C、D。 | 两点之间线段最短 | 通过作对称点，把不在同一直线的线段转化在同一直线上。 | |
三条线段共 点 | 在△ABC中一点P，使它到三顶点的距离之和最短（即费马点）。 | 把△PBC逆时针旋转60°得△CP′′B′，当点P′、P′′在线段AB′上时，PA+PB+PC最短。由全等得∠APC=∠BPC=120°，再作等边△ACE，BE与AB′的交点即为所求点P。 | 利用旋转，将不在同一直线的线段转化在同一直线上。 | |||
三、典型例题
1、如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，请在x轴上求一点C，使点C到点B和直线AB的距离之和最短。
分析：虽然线段CB和CD同在一个三角形，但这个三角形三边都不固定。把线段BC翻折到B′C，从而当B′、C、D三点在同一直线上，且该直线垂直于AB时，点C到点B和直线AB的距离之和最短。
解：作点B关于x轴的对称点B′，再作B′EAB于E，交x轴于点F，连接B′C，
∴B′C=BC，
出品时间∴CB+CD=B′C+CD<B′E，
即当C与F重合时，CB+CD最短为B′E，
∵，
什么是k线∴A（3，0），B（0，），
∴∠ABB′=60°，BB′=2，
∴B′E=3，
∴点C到点B和直线AB的距离之和最短为3。
解后反思：（1）此题利用轴对称把CB+CD转移到另一个三角形中，而该三角形的第三边容易到最小值。（2）在平面直角坐标系中求线段最短问题时，要注意“解析式坐标值线段长”三者的相互转化，特别是要善于发现特殊数量与特殊图形之间的联系，充分运用好数形结合思想。（3）利用轴对称把不在同一三角形的线段转移到同一三角形的问题通常称为“将军饮马”问题。
2、如图，Rt△OAB中，∠OAB=90°，AB=6，OA=8，⊙O的半径为4，点C是圆O上的一个动点，点D是CB的中点。求AD的取值范围。
分析：从静止的图形入手，圆的半径和直角三角形是固定的，容易想到连接半径，以及直角三角形斜边的中线，进而利用三角形三边关系可求解。
解法一：作OB的中点E，连接OC、AE、DE，
∵∠OAB=90°，AB=6，OA=8，点D是CB的中点，
∴AE==5，DE=OC=2，
∵当点D在线段AE的延长线上时，AD最长；当点D在线段AE上时，AD最短，
∴。
解法二：倍长AD至DF，连接CF，并把点O向右平移6个单位到O′，易知CFABOO′=6，
∴当点C在⊙O上移动时，点F也在以O′为圆心，4为半径的圆上移动，
∵AO′=BO=10，那么6≤AF≤14，
∴。
解后反思：（1）遇到中点问题，通常要考虑作中位线、直角三角形斜边的中线或倍长构造全等等辅助线；在圆中，连接半径能很快到线段之间的关系。（2）在动态问题中，要善于从静止的点、线段、角中发现变化的规律，动中有静，静中察变，动静结合，以静制动。特殊位置的图形中隐含特殊的数量关系，反之亦然。
3、如图，AD是等腰△ABC底边的高，AB=AC=6，BC=4，点E在AD上，点P从点A出发，
苏轼《水调歌头》全诗沿A→E→C移动，点P在线段AD上移动的速度是在线段EC上移动的3倍。当点E位于何处时，点P移动的时间最短？
分析：设点P在EC上的运动速度为单位1，此题就是要求的最小值。由已知得sin∠BAD =，因此过点C作暖暖歌词CF⊥AB于点F，CF交AD于点E，此时点P的运动时间最短。
解：过点C作CF⊥AB于点F，CF交AD于点E，
∵AD是等腰△ABC底边的高，AB=AC=6，BC=4，
∴AD⊥BC，BD=DC=2，
而∠BAD是公共角，则△AEF∼△ABD，
∴，即，∴EF=AE，
设点P在EC上的运动速度为单位1，则点P移动的时间为，
招贴∴=EF+EC=CF，
由垂线段最短知，此时点P移动的时间最短，
又∠DCE=∠BAD，则△CDE∼△ABD，得，
∵AB=6，BD=DC=2，则AD=4，
∴，解得ED=，则AE=4—=，
∴当AE=时，点P运动的时间最短。
解后反思：（1）把点P在EC上的运动速度看着单位1可大大简化此题的计算量。（2）充分利用已有的线段比值是构造恰当的相似三角形的关键。
4、如图，点A、B在圆O上，OA⊥OB，OA=OB=6，C是OA中点，点D在OB上，OD=4，点P是⊙中学教师资格证O上的一个动点。
（1）求2PC+PD的最小值。 （2）求PC+PD的最小值。
（3）求的最大值。 （4）求PC+PD的最小值。
分析：连接OP，则图中△包含边之比为1：2和2：3两种关系，从而想到构造相似比为1：2和2：3的△，可把带系数的线段转化为相等线段，进而可用三角形三边关系最大或最小值。
解：（1）如图1，连接OP，倍长OA到AE，再连接EP、ED，ED交⊙O于点F，
∵C是OA中点，OA=OB=6，
∴，
而∠POC=∠POE，
∴△POC∽△EOP，∴PE=2PC，
∴2PC+PD=PE+PD
∴当点P移动到点F时，2PC+PD最小=DE，
在Rt△DOE中，DE==4，
∴2PC+PD的最小值=DE=4.
（2）如图1，∵PC+PD=（2PC+PD），
∴由（1）知：PC+PD的最小值是2。
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。
发表评论